(a) Determine a primitiva
de
, tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma primitiva
da função
, ou seja, precisamos integrar essa função. Além disso, temos a condição inicial
. Vamos precisar saber um pouco sobre integrais e como resolver integrais que envolvem funções exponenciais com expressão quadrática no expoente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma primitiva. Uma primitiva de
é uma função
cuja derivada é
. Ou seja,
. Para encontrar
, precisamos calcular a integral indefinida de
.
Passo 3
Vamos escrever a integral que precisamos resolver:
Passo 4
Para resolver essa integral, podemos usar o método de substituição, também conhecido como troca de variável. A ideia é escolher uma parte da função para ser substituída por uma nova variável, simplificando a integral.
Passo 5
Vamos fazer a seguinte substituição:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Substituindo
e
na integral original:
Passo 7
Agora, a integral de
em relação a
é simplesmente
. Então:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
na expressão de
:
Resolvendo para
:
Resposta
A primitiva
de
que satisfaz
é: