(a) Determine a primitiva F(x) de f(x) = x * e^(x^2), tal que F(0) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos uma primitiva da função , ou seja, precisamos integrar essa função. Além disso, temos a condição inicial . Vamos precisar saber um pouco sobre integrais e como resolver integrais que envolvem funções exponenciais com expressão quadrática no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma primitiva. Uma primitiva de é uma função cuja derivada é . Ou seja, . Para encontrar , precisamos calcular a integral indefinida de .

Passo 3

Vamos escrever a integral que precisamos resolver:

Passo 4

Para resolver essa integral, podemos usar o método de substituição, também conhecido como troca de variável. A ideia é escolher uma parte da função para ser substituída por uma nova variável, simplificando a integral.

Passo 5

Vamos fazer a seguinte substituição:
Então, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 6

Substituindo e na integral original:

Passo 7

Agora, a integral de em relação a é simplesmente . Então:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo na expressão de :
Resolvendo para :

Resposta

A primitiva de que satisfaz é:

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