Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos a regiào limitada pelo gráfico de e o eixo dos .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido de revolução gerado ao girar, em torno do eixo dos , a região limitada pelo gráfico de , no intervalo de , e pelo próprio eixo dos . Vamos usar o cálculo integral, mais especificamente o método dos discos, para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um sólido de revolução. Quando giramos uma região ao redor de um eixo, criamos um sólido tridimensional. Para calcular o volume desse sólido, podemos usar o método dos discos, que envolve integrar a área de discos infinitamente finos ao longo do intervalo dado.

Passo 3

No método dos discos, a área de cada disco é dada por , onde é a função que delimita a região que está sendo girada. No nosso caso, .

Passo 4

Agora, para encontrar o volume total, integramos a área dos discos no intervalo de a :

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos agora calcular a integral de :
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar para o cálculo do volume.

Passo 7

Aplicando os limites de integração de a :

Passo 8

Simplificando ainda mais:

Passo 9

Podemos deixar a resposta assim ou, se preferir, multiplicar por :

Resposta

O volume do sólido de revolução é .

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(a)
(b)
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(a)
(b)
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