Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos
a regiào limitada pelo gráfico de
e o eixo dos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido de revolução gerado ao girar, em torno do eixo dos
, a região limitada pelo gráfico de
, no intervalo de
, e pelo próprio eixo dos
. Vamos usar o cálculo integral, mais especificamente o método dos discos, para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um sólido de revolução. Quando giramos uma região ao redor de um eixo, criamos um sólido tridimensional. Para calcular o volume desse sólido, podemos usar o método dos discos, que envolve integrar a área de discos infinitamente finos ao longo do intervalo dado.
Passo 3
No método dos discos, a área de cada disco é dada por
, onde
é a função que delimita a região que está sendo girada. No nosso caso,
.
Passo 4
Agora, para encontrar o volume total, integramos a área dos discos no intervalo de
a
:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos agora calcular a integral de
:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar para o cálculo do volume.
Passo 7
Aplicando os limites de integração de
a
:
Passo 8
Simplificando ainda mais:
Passo 9
Podemos deixar a resposta assim ou, se preferir, multiplicar
por
:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
.