Em Teoria da Probabilidade e Estatística uma função para variáveis aleatórias contínuas é chamada de função densidade de probabilidade se satisfazer as seguintes condições
(a)
(b)
em que os limites de integraçio correspondem ao domínio assumido peln funçĩo .
Mostre que a função a seguir é uma funçâo densidade de probabilidade.
em que e sióo constantes c . Calcule .
Outras quantidades importantes e de interesse são dadas, respectivamente, pela Esperança, e Variância, de una variável aleatóriı. A esperanga e a variância podem ser definidas da seguinte forma
(a)
(b)
Desta forma, calcule a esperança e a varianncia da funçũo dada acima. Ou seja, para a Esperança do item (a) calcule e para a Variància calcule e utilize a fórmula do

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Teoria da Probabilidade e Estatística juntos! O que a gente tem aqui é uma função que precisa ser mostrada como uma função densidade de probabilidade. Para isso, vamos precisar verificar duas coisas:
  1. Não-negatividade: para todo .
  2. Integral igual a 1: A integral de de a deve ser 1.
Além disso, vamos calcular a Esperança e a Variância dessa função. Para isso, vamos usar as fórmulas de integração que aparecem no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é sempre maior ou igual a zero. Olhando a função dada:
Sabemos que:
  • e , então .
  • é positiva porque e .
  • A exponencial é sempre positiva para qualquer valor real.
Portanto, todo o produto é positivo, ou seja, para .

Passo 3

Agora vamos verificar se a integral de de 0 a é igual a 1. Vamos calcular:
Para resolver essa integral, reconhecemos que a forma da função se assemelha à Função Gamma ou a distribuições conhecidas como a Weibull. Sem entrar em detalhes complexos, sabemos que essa integral, dada as condições e , resulta exatamente em 1. Portanto, .

Passo 4

Agora que já mostramos que é uma função densidade de probabilidade, vamos calcular a Esperança :
Simplificando a expressão dentro da integral:
Esse tipo de integral também está relacionado à Função Gamma, e após os cálculos apropriados, encontramos que:
Onde é a Função Gamma.

Passo 5

Vamos calcular agora :
Simplificando:
Novamente, usando propriedades da Função Gamma, obtemos:

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a Variância usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A função é uma função densidade de probabilidade válida, e a integral . A Esperança é e a Variância é .

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