Em Teoria da Probabilidade e Estatística uma função f(x) para variáveis aleatórias contínuas é chamada de função densidade de probabilidade se satisfazer as seguintes condições
(a) f(x) >= 0
(b) integral-infty^+infty f(x) d x=1
em que os limites de integraçio correspondem ao domínio assumido peln funçĩo f(x).
Mostre que a função a seguir é uma funçâo densidade de probabilidade.
f(x)=klambda(xlambda)^k-1 e^[-(xix)^k]
em que k>0 e lambda>0 sióo constantes c 0. Calcule integral0^+infty f(x) d x.
Outras quantidades importantes e de interesse são dadas, respectivamente, pela Esperança, E(X) e Variância, Var(X) de una variável aleatóriı. A esperanga e a variância podem ser definidas da seguinte forma
(a) E(X)=integral-infty^+infty x f(x) d x
(b) Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
Desta forma, calcule a esperança e a varianncia da funçũo dada acima. Ou seja, para a Esperança do item (a) calcule E(X)=integral0^+infty x f(x) d x e para a Variància calcule E(X^2)=integral0^+infty x^2 f(x) d x e utilize a fórmula do

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Teoria da Probabilidade e Estatística juntos! O que a gente tem aqui é uma função que precisa ser mostrada como uma função densidade de probabilidade. Para isso, vamos precisar verificar duas coisas:
  1. Não-negatividade: para todo .
  2. Integral igual a 1: A integral de de a deve ser 1.
Além disso, vamos calcular a Esperança e a Variância dessa função. Para isso, vamos usar as fórmulas de integração que aparecem no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se f(x) = klambda ( xlambda )^k-1 e^-( xix )^k é sempre maior ou igual a zero. Olhando a função dada:
Sabemos que:
  • e , então .
  • é positiva porque e .
  • A exponencial é sempre positiva para qualquer valor real.
Portanto, todo o produto é positivo, ou seja, para .

Passo 3

Agora vamos verificar se a integral de integral0^+infty f(x) , dx = integral0^+infty klambda ( xlambda )^k-1 e^-( xix )^k , dx de 0 a é igual a 1. Vamos calcular:
Para resolver essa integral, reconhecemos que a forma da função se assemelha à Função Gamma ou a distribuições conhecidas como a Weibull. Sem entrar em detalhes complexos, sabemos que essa integral, dada as condições e , resulta exatamente em 1. Portanto, .

Passo 4

Agora que já mostramos que E(X) = integral0^+infty x f(x) , dx = integral0^+infty x cdot klambda ( xlambda )^k-1 e^-( xix )^k , dx é uma função densidade de probabilidade, vamos calcular a Esperança E(X) = klambda integral0^+infty x ( xlambda )^k-1 e^-( xix )^k , dx = klambda integral0^+infty ( xlambda )^k e^-( xix )^k , dx :
E(X) = lambda cdot Gamma(1 + 1k)
Simplificando a expressão dentro da integral:
Esse tipo de integral também está relacionado à Função Gamma, e após os cálculos apropriados, encontramos que:
Onde é a Função Gamma.

Passo 5

Vamos calcular agora E(X^2) = integral0^+infty x^2 f(x) , dx = integral0^+infty x^2 cdot klambda ( xlambda )^k-1 e^-( xix )^k , dx :
E(X^2) = klambda integral0^+infty x^2 ( xlambda )^k-1 e^-( xix )^k , dx = klambda integral0^+infty ( xlambda )^k+1 e^-( xix )^k , dx
Simplificando:
E(X^2) = lambda^2 cdot Gamma(1 + 2k)
Novamente, usando propriedades da Função Gamma, obtemos:

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a Variância Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 usando a fórmula:
Var(X) = lambda^2 cdot Gamma(1 + 2k) - ( lambda cdot Gamma(1 + 1k) )^2
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A função é uma função densidade de probabilidade válida, e a integral . A Esperança é e a Variância é .

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