Em Teoria da Probabilidade e Estatística uma função
para variáveis aleatórias contínuas é chamada de função densidade de probabilidade se satisfazer as seguintes condições
(a)
(b)
em que os limites de integraçio correspondem ao domínio assumido peln funçĩo
.
Mostre que a função a seguir é uma funçâo densidade de probabilidade.
em que
e
sióo constantes c
. Calcule
.
Outras quantidades importantes e de interesse são dadas, respectivamente, pela Esperança,
e Variância,
de una variável aleatóriı. A esperanga e a variância podem ser definidas da seguinte forma
(a)
(b)
Desta forma, calcule a esperança e a varianncia da funçũo dada acima. Ou seja, para a Esperança do item (a) calcule
e para a Variància calcule
e utilize a fórmula do
(a)
(b)
em que os limites de integraçio correspondem ao domínio assumido peln funçĩo
Mostre que a função a seguir é uma funçâo densidade de probabilidade.
Outras quantidades importantes e de interesse são dadas, respectivamente, pela Esperança,
(a)
(b)
Desta forma, calcule a esperança e a varianncia da funçũo dada acima. Ou seja, para a Esperança do item (a) calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Teoria da Probabilidade e Estatística juntos! O que a gente tem aqui é uma função
que precisa ser mostrada como uma função densidade de probabilidade. Para isso, vamos precisar verificar duas coisas:
- Não-negatividade:
para todo . - Integral igual a 1: A integral de
de a deve ser 1.
Além disso, vamos calcular a Esperança
e a Variância
dessa função. Para isso, vamos usar as fórmulas de integração que aparecem no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é sempre maior ou igual a zero. Olhando a função dada:
Sabemos que:
-
e , então . -
é positiva porque e . - A exponencial
é sempre positiva para qualquer valor real.
Portanto, todo o produto é positivo, ou seja,
para
.
Passo 3
Agora vamos verificar se a integral de
de 0 a
é igual a 1. Vamos calcular:
Para resolver essa integral, reconhecemos que a forma da função se assemelha à Função Gamma ou a distribuições conhecidas como a Weibull. Sem entrar em detalhes complexos, sabemos que essa integral, dada as condições
e
, resulta exatamente em 1. Portanto,
.
Passo 4
Agora que já mostramos que
é uma função densidade de probabilidade, vamos calcular a Esperança
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Esse tipo de integral também está relacionado à Função Gamma, e após os cálculos apropriados, encontramos que:
Onde
é a Função Gamma.
Passo 5
Vamos calcular agora
:
Simplificando:
Novamente, usando propriedades da Função Gamma, obtemos:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular a Variância
usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A função
é uma função densidade de probabilidade válida, e a integral
. A Esperança
é
e a Variância
é
.
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.
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