Resolva a integral aplicando a substituição .
Calcule a derivada de em relação a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a substituição . Primeiro, vamos entender o que precisamos: vamos usar a técnica de substituição em cálculo integral, que ajuda a simplificar integrais complicadas substituindo uma parte da expressão por uma nova variável. Aqui, escolhemos porque isso vai simplificar nossa integral.

Passo 2

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a . Como , derivando ambos os lados em relação a , temos:
Ou seja:
Isso significa que podemos expressar em termos de :

Passo 3

Vamos substituir tudo na integral original com base nas substituições que fizemos. A integral original é:
Substituindo e , temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, vamos substituir de volta na expressão que encontramos:
Então, a solução da integral é:

Resposta

A integral resolvida por substituição é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Encontre a integral indefinida de usando a substituição .
Reverta a substituição para expressar a resposta em termos de .
Encontre a integral indefinida de usando a substituição .
Resolva a integral resultante em termos de .
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(l) .
Calcule a área da região limitada pelos gráficos de e