Resolva a integral integral cos ^2 x sen x d x aplicando a substituição u=cos x.
Calcule a derivada de u em relação a x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a substituição integral cos^2 x cdot sen x , dx. Primeiro, vamos entender o que precisamos: vamos usar a técnica de substituição em cálculo integral, que ajuda a simplificar integrais complicadas substituindo uma parte da expressão por uma nova variável. Aqui, escolhemos u = cos x porque isso vai simplificar nossa integral.

Passo 2

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x. Como u = cos x, derivando ambos os lados em relação a x, temos:
Ou seja:
Isso significa que podemos expressar em termos de dudx = -sen x :

Passo 3

Vamos substituir tudo na integral original com base nas substituições que fizemos. A integral original é:
Substituindo integral cos^2 x cdot sen x , dx e , temos:
u = cos x

Passo 4

Agora, vamos integrar -u^2 em relação a u:
- integral u^2 , du = -( u^33 ) + C = -u^33 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, vamos substituir de volta u = cos x na expressão que encontramos:
-u^33 + C = -(cos x)^33 + C
Então, a solução da integral é:
-cos^3 x3 + C

Resposta

A integral resolvida por substituição é igual a integral cos^2 x cdot sen x , dx, onde -cos^3 x3 + C é a constante de integração.

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