Resolva a integral
aplicando a substituição
.
Calcule a derivada de
em relação a
.
Calcule a derivada de
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral usando a substituição
. Primeiro, vamos entender o que precisamos: vamos usar a técnica de substituição em cálculo integral, que ajuda a simplificar integrais complicadas substituindo uma parte da expressão por uma nova variável. Aqui, escolhemos
porque isso vai simplificar nossa integral.
Passo 2
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
. Como
, derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Ou seja:
Isso significa que podemos expressar em termos de
:
Passo 3
Vamos substituir tudo na integral original com base nas substituições que fizemos. A integral original é:
Substituindo
e , temos:
Passo 4
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Finalmente, vamos substituir de volta
na expressão que encontramos:
Então, a solução da integral é:
Resposta
A integral resolvida por substituição é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Encontre a integral indefinida de
usando a substituição
.
Reverta a substituição para expressar a resposta em termos de .
Reverta a substituição para expressar a resposta em termos de
Encontre a integral indefinida de
usando a substituição
.
Resolva a integral resultante em termos de .
Resolva a integral resultante em termos de
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(l) .
(l)
Calcule a área da região limitada pelos gráficos de
e