Calcule a área da região limitada pela lemniscata
sabendo que as retas tangentes a essa curva na origem são
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região delimitada pela lemniscata
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo em coordenadas polares. Precisaremos entender como integrar em coordenadas polares para achar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da lemniscata:
. Essa é uma curva em coordenadas polares que tem a forma de um oito, chamada de lemniscata de Bernoulli. Para encontrar a área dessa região, usamos a fórmula de área em coordenadas polares:
onde
e
são os limites de
que definem uma volta completa na curva.
Passo 3
Observando que a lemniscata é simétrica em relação ao eixo
e que as retas tangentes na origem são
e
, sabemos que os ângulos correspondentes são
e
. Isso nos indica que vamos integrar de
a
para cobrir uma das duas lacinhas do oito.
Passo 4
Vamos substituir
pela expressão dada na equação da lemniscata:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de
:
Aplicando os limites de integração:
Passo 6
Calculando os valores:
Substituindo na expressão da área:
Resposta
A área da região limitada pela lemniscata
é igual a 2 unidades de área.
Exercícios relacionados
Determine a área da superfície
descrita em cada caso.
a) é o subconjunto da esfera com centro na origem e raio 4 que é limitado pela superfície
e que está acima do plano
.
a)
Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral abaixo
onde
é a região limitada pelas espirais
e
, sendo
.
Seja
a região do primeiro quadrante localizada entre as curvas
e
. Neste caso, se
é uma lâmina que ocupa a região
e se
é a função que descreve a densidade de carga (em coulombs por centímetros quadrados) em L, então determine a carga total de L.
Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares.
b)
b)