Calcule a área da região limitada pela lemniscata sabendo que as retas tangentes a essa curva na origem são e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região delimitada pela lemniscata . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo em coordenadas polares. Precisaremos entender como integrar em coordenadas polares para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da lemniscata: . Essa é uma curva em coordenadas polares que tem a forma de um oito, chamada de lemniscata de Bernoulli. Para encontrar a área dessa região, usamos a fórmula de área em coordenadas polares:
onde e são os limites de que definem uma volta completa na curva.

Passo 3

Observando que a lemniscata é simétrica em relação ao eixo e que as retas tangentes na origem são e , sabemos que os ângulos correspondentes são e . Isso nos indica que vamos integrar de a para cobrir uma das duas lacinhas do oito.

Passo 4

Vamos substituir pela expressão dada na equação da lemniscata:
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de :
Aplicando os limites de integração:

Passo 6

Calculando os valores:
Substituindo na expressão da área:

Resposta

A área da região limitada pela lemniscata é igual a 2 unidades de área.

Exercícios relacionados

Determine a área da superfície descrita em cada caso.
a) é o subconjunto da esfera com centro na origem e raio 4 que é limitado pela superfície e que está acima do plano .
Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral abaixo
onde é a região limitada pelas espirais e , sendo .
Seja a região do primeiro quadrante localizada entre as curvas e . Neste caso, se é uma lâmina que ocupa a região e se é a função que descreve a densidade de carga (em coulombs por centímetros quadrados) em L, então determine a carga total de L.
Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares.
b)