Seja
a região do primeiro quadrante localizada entre as curvas
e
. Neste caso, se
é uma lâmina que ocupa a região
e se
é a função que descreve a densidade de carga (em coulombs por centímetros quadrados) em L, então determine a carga total de L.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a carga total de uma lâmina
que está na região
do primeiro quadrante, delimitada pelas curvas
e
. A densidade de carga é dada por
(em coulombs por centímetro quadrado). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para somar todas as cargas na região
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
onde a lâmina está localizada. Temos duas curvas:
-
: uma parábola que abre para cima. -
: uma linha horizontal.
No primeiro quadrante (onde
e
), essas curvas se intersectam quando
, ou seja, quando
. Então, a região
vai de
até
, e para cada
nesse intervalo,
varia de
até
.
Passo 3
Para encontrar a carga total
na lâmina
, precisamos integrar a densidade de carga
sobre toda a região
. Isso é feito usando uma integral dupla:
Onde
é um elemento de área na região
.
Passo 4
Vamos configurar os limites de integração. Como
varia de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
a 1, nossa integral dupla fica assim:
Passo 5
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão na integral externa e resolvemos em relação a
:
Resposta
A carga total da lâmina
é
coulombs.
Exercícios relacionados
Calcule a área da região limitada pela lemniscata
sabendo que as retas tangentes a essa curva na origem são
e
.
Determine a área da superfície
descrita em cada caso.
a) é o subconjunto da esfera com centro na origem e raio 4 que é limitado pela superfície
e que está acima do plano
.
a)
Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares.
b)
b)
Determine o volume do sólido S descrito em cada caso.
b) S é o sólido de menor volume limitado por e
.
b) S é o sólido de menor volume limitado por