Seja a região do primeiro quadrante localizada entre as curvas e . Neste caso, se é uma lâmina que ocupa a região e se é a função que descreve a densidade de carga (em coulombs por centímetros quadrados) em L, então determine a carga total de L.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a carga total de uma lâmina que está na região do primeiro quadrante, delimitada pelas curvas e . A densidade de carga é dada por (em coulombs por centímetro quadrado). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para somar todas as cargas na região .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde a lâmina está localizada. Temos duas curvas:
  1. : uma parábola que abre para cima.
  2. : uma linha horizontal.
No primeiro quadrante (onde e ), essas curvas se intersectam quando , ou seja, quando . Então, a região vai de até , e para cada nesse intervalo, varia de até .

Passo 3

Para encontrar a carga total na lâmina , precisamos integrar a densidade de carga sobre toda a região . Isso é feito usando uma integral dupla:
Onde é um elemento de área na região .

Passo 4

Vamos configurar os limites de integração. Como varia de 0 a 1 e, para cada , varia de a 1, nossa integral dupla fica assim:

Passo 5

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na integral externa e resolvemos em relação a :

Resposta

A carga total da lâmina é coulombs.

Exercícios relacionados

Calcule a área da região limitada pela lemniscata sabendo que as retas tangentes a essa curva na origem são e .
Determine a área da superfície descrita em cada caso.
a) é o subconjunto da esfera com centro na origem e raio 4 que é limitado pela superfície e que está acima do plano .
Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares.
b)
Determine o volume do sólido S descrito em cada caso.
b) S é o sólido de menor volume limitado por e .