Determine a área da superfície
descrita em cada caso.
a)
é o subconjunto da esfera com centro na origem e raio 4 que é limitado pela superfície
e que está acima do plano
.
a)
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para determinar a área de uma superfície
que é parte de uma esfera com centro na origem e raio 4. Essa superfície é limitada pela equação
e está acima do plano
. Basicamente, vamos usar conceitos de geometria tridimensional e cálculo para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação
. Podemos reescrever isso completando o quadrado para facilitar a visualização:
Isso representa um círculo no plano
com centro em
e raio 2.
Passo 3
Agora, sabemos que a superfície
está acima do plano
, ou seja,
. Então, estamos olhando para a parte da esfera que está na metade superior.
Passo 4
Para encontrar a área da superfície
, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para trabalhar com esferas. As coordenadas esféricas são dadas por:
Onde
é o raio,
é o ângulo polar e
é o ângulo azimutal.
Passo 5
A área em coordenadas esféricas é calculada pela integral:
Como o raio
, nossa integral fica:
Passo 6
Precisamos determinar os limites de integração. A condição
nos dá a projeção do círculo na esfera. Em coordenadas esféricas, isso se traduz em um valor específico de
.
Resolvendo a equação para
:
Isso implica que
. Então,
.
Passo 7
Os limites de
vão de 0 a
, pois estamos cobrindo todo o círculo. E para
, de 0 até
.
Passo 8
Agora, substituímos os limites na integral:
Integrando em relação a
:
Sabendo que
, temos:
Passo 9
Substituindo de volta na integral:
Integrando em relação a
:
Resposta
A área da superfície
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral abaixo
onde
é a região limitada pelas espirais
e
, sendo
.
Determine o volume do sólido S descrito em cada caso.
a) S é limitado pelas superfícies de equações e
.
a) S é limitado pelas superfícies de equações
Calcule a área da região limitada pela lemniscata
sabendo que as retas tangentes a essa curva na origem são
e
.
Seja
a região do primeiro quadrante localizada entre as curvas
e
. Neste caso, se
é uma lâmina que ocupa a região
e se
é a função que descreve a densidade de carga (em coulombs por centímetros quadrados) em L, então determine a carga total de L.