Determine a área da superfície S descrita em cada caso.
a) S é o subconjunto da esfera com centro na origem e raio 4 que é limitado pela superfície x^2 + y^2 = 4x e que está acima do plano x y.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para determinar a área de uma superfície que é parte de uma esfera com centro na origem e raio 4. Essa superfície é limitada pela equação e está acima do plano . Basicamente, vamos usar conceitos de geometria tridimensional e cálculo para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação . Podemos reescrever isso completando o quadrado para facilitar a visualização:
Isso representa um círculo no plano com centro em e raio 2.

Passo 3

Agora, sabemos que a superfície está acima do plano , ou seja, . Então, estamos olhando para a parte da esfera que está na metade superior.

Passo 4

Para encontrar a área da superfície , vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para trabalhar com esferas. As coordenadas esféricas são dadas por:
Onde é o raio, é o ângulo polar e é o ângulo azimutal.

Passo 5

A área em coordenadas esféricas é calculada pela integral:
Como o raio , nossa integral fica:

Passo 6

Precisamos determinar os limites de integração. A condição nos dá a projeção do círculo na esfera. Em coordenadas esféricas, isso se traduz em um valor específico de .
Resolvendo a equação para :
Isso implica que . Então, .

Passo 7

Os limites de vão de 0 a , pois estamos cobrindo todo o círculo. E para , de 0 até .

Passo 8

Agora, substituímos os limites na integral:
Integrando em relação a :
Sabendo que , temos:

Passo 9

Substituindo de volta na integral:
Integrando em relação a :

Resposta

A área da superfície é unidades de área.

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