Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares.
b) integral0^2 integral0^raiz2 y-y^2 f(x, y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para reescrever a integral dupla usando coordenadas polares. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente mudando de coordenadas cartesianas para polares. Para isso, vamos precisar entender como transformar os limites de integração e a função para o sistema polar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que, em coordenadas polares, as relações entre x = r costheta e y = r sintheta e são:
Além disso, o elemento de área na coordenada cartesiana se transforma em na coordenada polar.

Passo 3

Agora, vamos entender a região de integração definida pelos limites da integral original. A integral é de a , e para cada , vai de a .

Passo 4

Vamos desenhar ou imaginar o gráfico dessa região para facilitar a conversão. A equação x^2 + (y - 1)^2 = 1 pode ser reescrita como , ou seja, . Completando o quadrado para :
Isso mostra que a região é a parte superior (já que vai de a ) de um círculo de raio 1 centrado em .

Passo 5

Em coordenadas polares, o círculo com centro em pode ser mais complicado de descrever, mas como estamos variando de a , isso corresponde a variando de a (meia volta no círculo). O raio vai de até a interseção com o círculo, que ocorre quando .

Passo 6

Então, os novos limites de integração em coordenadas polares são:
theta: 0 a pi
r: 0 a 2 sintheta
E lembrando que , a integral original em coordenadas polares fica:

Resposta

integral0^pi integral0^2 sintheta f(r costheta, r sintheta) , r , dr , dtheta

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