Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares.
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para reescrever a integral dupla usando coordenadas polares. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente mudando de coordenadas cartesianas para polares. Para isso, vamos precisar entender como transformar os limites de integração e a função para o sistema polar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que, em coordenadas polares, as relações entre e são:
Além disso, o elemento de área na coordenada cartesiana se transforma em na coordenada polar.

Passo 3

Agora, vamos entender a região de integração definida pelos limites da integral original. A integral é de a , e para cada , vai de a .

Passo 4

Vamos desenhar ou imaginar o gráfico dessa região para facilitar a conversão. A equação pode ser reescrita como , ou seja, . Completando o quadrado para :
Isso mostra que a região é a parte superior (já que vai de a ) de um círculo de raio 1 centrado em .

Passo 5

Em coordenadas polares, o círculo com centro em pode ser mais complicado de descrever, mas como estamos variando de a , isso corresponde a variando de a (meia volta no círculo). O raio vai de até a interseção com o círculo, que ocorre quando .

Passo 6

Então, os novos limites de integração em coordenadas polares são:
E lembrando que , a integral original em coordenadas polares fica:

Resposta

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Seja a região do primeiro quadrante localizada entre as curvas e . Neste caso, se é uma lâmina que ocupa a região e se é a função que descreve a densidade de carga (em coulombs por centímetros quadrados) em L, então determine a carga total de L.
Calcule a área da região limitada pela lemniscata sabendo que as retas tangentes a essa curva na origem são e .
Determine o volume do sólido S descrito em cada caso.
b) S é o sólido de menor volume limitado por e .
Calcule a integral abaixo