Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para reescrever a integral dupla
usando coordenadas polares. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente mudando de coordenadas cartesianas para polares. Para isso, vamos precisar entender como transformar os limites de integração e a função
para o sistema polar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que, em coordenadas polares, as relações entre
e
são:
Além disso, o elemento de área
na coordenada cartesiana se transforma em
na coordenada polar.
Passo 3
Agora, vamos entender a região de integração definida pelos limites da integral original. A integral é de
a
, e para cada
,
vai de
a
.
Passo 4
Vamos desenhar ou imaginar o gráfico dessa região para facilitar a conversão. A equação
pode ser reescrita como
, ou seja,
. Completando o quadrado para
:
Isso mostra que a região é a parte superior (já que
vai de
a
) de um círculo de raio 1 centrado em
.
Passo 5
Em coordenadas polares, o círculo com centro em
pode ser mais complicado de descrever, mas como estamos variando
de
a
, isso corresponde a
variando de
a
(meia volta no círculo). O raio
vai de
até a interseção com o círculo, que ocorre quando
.
Passo 6
Então, os novos limites de integração em coordenadas polares são:
E lembrando que
, a integral original em coordenadas polares fica:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
a região do primeiro quadrante localizada entre as curvas
e
. Neste caso, se
é uma lâmina que ocupa a região
e se
é a função que descreve a densidade de carga (em coulombs por centímetros quadrados) em L, então determine a carga total de L.
Calcule a área da região limitada pela lemniscata
sabendo que as retas tangentes a essa curva na origem são
e
.
Determine o volume do sólido S descrito em cada caso.
b) S é o sólido de menor volume limitado por e
.
b) S é o sólido de menor volume limitado por
Calcule a integral abaixo