Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral abaixo
onde
é a região limitada pelas espirais
e
, sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente esboçar a região de integração e depois calcular a integral dupla de
sobre essa região. Estamos lidando com coordenadas polares, já que as equações das espirais são dadas nessa forma:
e
, para
. Vamos precisar entender como converter a integral para coordenadas polares e determinar os limites de integração corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. As espirais
e
são curvas que se afastam do centro conforme
aumenta. Para cada valor de
entre 0 e
,
está sempre a uma distância maior do que
. Então, a região
está entre essas duas espirais, de
até
.
Passo 3
Agora, vamos converter a integral para coordenadas polares. Sabemos que, em coordenadas polares,
e
. Além disso, a área diferencial
em coordenadas polares é
.
A função que vamos integrar é
. Em coordenadas polares, isso vira:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos definir os limites de integração. Para
, já sabemos que varia de 0 a
. Para cada
,
vai de
até
. Então, nossos limites são:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral dupla vale
.