Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral abaixo
integral duplaR x^2+y^2 d A
onde R é a região limitada pelas espirais r=theta e r=2 theta, sendo 0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente esboçar a região de integração e depois calcular a integral dupla de sobre essa região. Estamos lidando com coordenadas polares, já que as equações das espirais são dadas nessa forma: e , para . Vamos precisar entender como converter a integral para coordenadas polares e determinar os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . As espirais e são curvas que se afastam do centro conforme aumenta. Para cada valor de entre 0 e , está sempre a uma distância maior do que . Então, a região está entre essas duas espirais, de até .

Passo 3

Agora, vamos converter a integral para coordenadas polares. Sabemos que, em coordenadas polares, x^2 + y^2 = r^2cos^2theta + r^2sin^2theta = r^2(cos^2theta + sin^2theta) = r^2 e integral duplaR x^2 + y^2 , dA = integral duplaR r^2 cdot r , dr , dtheta = integral duplaR r^3 , dr , dtheta . Além disso, a área diferencial em coordenadas polares é .
A função que vamos integrar é . Em coordenadas polares, isso vira:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos definir os limites de integração. Para 0 <= theta <= 2pi , já sabemos que varia de 0 a theta <= r <= 2theta . Para cada , vai de até . Então, nossos limites são:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
integral duplaR r^3 , dr , dtheta = integral0^2pi integraltheta^2theta r^3 , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a integraltheta^2theta r^3 , dr = [ r^44 ]theta^2theta = (2theta)^44 - theta^44 = 16theta^44 - theta^44 = 15theta^44 :
integral0^2pi 15theta^44 , dtheta = 154 integral0^2pi theta^4 , dtheta = 154 [ theta^55 ]0^2pi = 154 cdot (2pi)^55 = 15 cdot 32pi^520 = 480pi^520 = 24pi^5
Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral dupla vale .

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