Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral abaixo
onde é a região limitada pelas espirais e , sendo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente esboçar a região de integração e depois calcular a integral dupla de sobre essa região. Estamos lidando com coordenadas polares, já que as equações das espirais são dadas nessa forma: e , para . Vamos precisar entender como converter a integral para coordenadas polares e determinar os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . As espirais e são curvas que se afastam do centro conforme aumenta. Para cada valor de entre 0 e , está sempre a uma distância maior do que . Então, a região está entre essas duas espirais, de até .

Passo 3

Agora, vamos converter a integral para coordenadas polares. Sabemos que, em coordenadas polares, e . Além disso, a área diferencial em coordenadas polares é .
A função que vamos integrar é . Em coordenadas polares, isso vira:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos definir os limites de integração. Para , já sabemos que varia de 0 a . Para cada , vai de até . Então, nossos limites são:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral dupla vale .

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Determine o volume do sólido S descrito em cada caso.
a) S é limitado pelas superfícies de equações e .
Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares.
a)
Determine a área da superfície descrita em cada caso.
a) é o subconjunto da esfera com centro na origem e raio 4 que é limitado pela superfície e que está acima do plano .
Calcule a área da região limitada pela lemniscata sabendo que as retas tangentes a essa curva na origem são e .