Calcule a área da região limitada pela parábola
e pela reta
entre
e
. Esboce o gráfico das duas funçōes e represente a região.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está entre a parábola
e a reta
no intervalo de
até
. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente a integração, que nos ajuda a encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde as duas funções se encontram dentro do intervalo dado. Isso é importante porque vamos integrar entre esses pontos para encontrar a área.
Passo 3
Vamos resolver a equação
para encontrar os pontos de interseção:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Dentro do intervalo de
a
, o único ponto de interseção relevante é
, mas como estamos considerando até
, vamos prosseguir com esses limites.
Passo 4
Agora, vamos identificar qual das duas funções está acima da outra no intervalo de integração. Vamos testar com
:
Então, a reta
está acima da parábola
nesse intervalo.
Passo 5
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a seguinte fórmula de integração:
Aqui,
e
, e os limites de integração são de
a
.
Passo 6
Vamos montar a integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos calcular os valores nos limites:
Para :
Para
Para
:
Então:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
entre
e
é
unidades de área.