Calcule a área da região limitada pela parábola y = x^2 - 1 e pela reta y = 2 x entre x = 0 e x = 2. Esboce o gráfico das duas funçōes e represente a região.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está entre a parábola e a reta no intervalo de até . Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente a integração, que nos ajuda a encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde as duas funções se encontram dentro do intervalo dado. Isso é importante porque vamos integrar entre esses pontos para encontrar a área.

Passo 3

Vamos resolver a equação para encontrar os pontos de interseção:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Dentro do intervalo de a , o único ponto de interseção relevante é , mas como estamos considerando até , vamos prosseguir com esses limites.

Passo 4

Agora, vamos identificar qual das duas funções está acima da outra no intervalo de integração. Vamos testar com :
á
Então, a reta está acima da parábola nesse intervalo.

Passo 5

Para encontrar a área entre as curvas, usamos a seguinte fórmula de integração:
Á
Aqui, e , e os limites de integração são de a .

Passo 6

Vamos montar a integral:
Á

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Á

Passo 8

Agora, vamos calcular os valores nos limites:
Para :
Para :
Então:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e entre e é unidades de área.

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