Nos Exercícios de 21 a 40, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.
40. f(x) = tg(2x) ; [-1/4 pi, 1/6 pi]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os extremos absolutos da função no intervalo . Isso significa que vamos descobrir quais são os maiores e menores valores que a função alcança nesse intervalo e em quais pontos isso acontece. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente o conceito de derivadas para encontrar os extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo.
A derivada de em relação a é . No nosso caso, , então:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos onde podem existir extremos, a gente iguala a derivada a zero:
Mas olha só, nunca é zero porque é o inverso do cosseno e quadrado de qualquer número real é positivo. Então, não temos pontos críticos dentro do intervalo. Isso quer dizer que os extremos absolutos só podem estar nas bordas do intervalo.

Passo 4

Vamos então avaliar a função nos extremos do intervalo:
  1. Para :
Sabemos que tende a , mas dentro do nosso contexto, vamos considerar que a função não está definida exatamente em , então vamos ver o limite próximo a esse ponto.
  1. Para :

Passo 5

Como não temos pontos críticos dentro do intervalo e a função tende a em , o mínimo absoluto ocorre próximo a esse extremo, e o máximo absoluto ocorre em com o valor de aproximadamente .

Resposta

No intervalo , a função possui:
  • Máximo absoluto em com .
  • Mínimo absoluto não está definido exatamente em pois a função tende a nesse ponto.

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