Nos Exercícios de 21 a 40, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.
40.
40.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os extremos absolutos da função
no intervalo
. Isso significa que vamos descobrir quais são os maiores e menores valores que a função alcança nesse intervalo e em quais pontos isso acontece. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente o conceito de derivadas para encontrar os extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo.
A derivada de
em relação a
é
. No nosso caso,
, então:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos onde podem existir extremos, a gente iguala a derivada a zero:
Mas olha só,
nunca é zero porque
é o inverso do cosseno e quadrado de qualquer número real é positivo. Então, não temos pontos críticos dentro do intervalo. Isso quer dizer que os extremos absolutos só podem estar nas bordas do intervalo.
Passo 4
Vamos então avaliar a função nos extremos do intervalo:
- Para
:
Sabemos que
tende a
, mas dentro do nosso contexto, vamos considerar que a função não está definida exatamente em
, então vamos ver o limite próximo a esse ponto.
- Para
:
Passo 5
Como não temos pontos críticos dentro do intervalo e a função tende a
em
, o mínimo absoluto ocorre próximo a esse extremo, e o máximo absoluto ocorre em
com o valor de aproximadamente
.
Resposta
No intervalo
, a função
possui:
- Máximo absoluto em
com . - Mínimo absoluto não está definido exatamente em
pois a função tende a nesse ponto.