Calcule a área da região limitada pela reta , pelo eixo com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está limitada pela reta , pelo eixo e no intervalo onde . Isso envolve um pouco de geometria analítica e cálculo de integrais, mas vou te explicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que temos. A reta é uma linha que passa pela origem e sobe com inclinação 45 graus. O eixo é a linha horizontal. Queremos encontrar a área entre essas duas linhas, de até .

Passo 3

Para calcular essa área, vamos usar a integral definida. A integral nos dá a área sob uma curva entre dois pontos. No nosso caso, a curva é a reta , e os limites são e .

Passo 4

A fórmula da integral definida é:
Á
Aqui, , e . Então, substituindo na fórmula:
Á

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral. A integral de em relação a é:
Mas como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos do . Basta avaliar de 0 a 1.

Passo 6

Aplicando os limites:
Á

Resposta

A área da região limitada pela reta , pelo eixo e entre é unidades quadradas.

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