Calcule a integral iterada: integral0^3 integral1^2 x^2 y d y d x

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla . Aqui, estamos trabalhando com integrais iteradas, que fazem parte do cálculo integral. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função integral1^2 x^2 y , dy = x^2 [ 12 y^2 ]1^2 = x^2 ( 12 cdot 2^2 - 12 cdot 1^2 ) = x^2 ( 2 - 12 ) = x^2 cdot 32 em relação a , mantendo constante. A integral de em relação a é . Então, temos:

Passo 3

Agora, substituímos o resultado da integração em relação a integral0^3 32 x^2 , dx = 32 integral0^3 x^2 , dx na integral em relação a 32 [ 13 x^3 ]0^3 = 32 ( 13 cdot 3^3 - 13 cdot 0^3 ) = 32 ( 9 - 0 ) = 32 cdot 9 = 272 :
A integral de em relação a é . Assim:

Resposta

A integral dupla vale .

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