Esboce os gráficos de: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de esboçar o gráfico da função . Aqui, a gente vai trabalhar com funções polinomiais, que são aquelas com potências inteiras de . Para desenhar o gráfico, vamos precisar entender como a função se comporta, encontrar pontos importantes como interceptações e máximas/minimas, e analisar como a curva se comporta quando vai para mais ou menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os interceptos da função.
Intercepto y: É o ponto onde a função cruza o eixo y, o que acontece quando .
Substituindo na função:
Então, o intercepto y é (0, 0).
Interceptos x: São os pontos onde .
Resolvendo :
Isso nos dá:
Então, os interceptos x são (-1, 0), (0, 0) e (1, 0).

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função para valores grandes de , ou seja, quando vai para mais ou menos infinito. Olhamos para o termo de maior grau:
Como o expoente é par e o coeficiente é positivo, sabemos que:
  • Quando ,
  • Quando ,
Isso significa que os dois “fins” do gráfico apontam para cima.

Passo 4

Vamos encontrar os pontos críticos para identificar máximas e mínimas locais. Para isso, calculamos a derivada da função e encontramos onde ela é zero ou não existe.
Derivada de :
Fatorando:
Igualando a zero:
Isso dá:
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 5

Vamos determinar se esses pontos críticos são máximas, mínimas ou pontos de inflexão usando o teste da segunda derivada.
Segunda derivada:
Fatorando:
Analisando em cada ponto crítico:
  • Para :
    Precisaríamos de mais informações para classificar, mas geralmente, isso indica um ponto de inflexão.
  • Para :
    Como a segunda derivada é positiva, esses pontos são mínimos locais.

Passo 6

Agora, vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
  • Interceptos: (-1, 0), (0, 0), (1, 0)
  • Comportamento: Ambos os lados do gráfico vão para cima quando tende ao infinito.
  • Pontos críticos: Mínimos locais em e ponto de inflexão em

Resposta

Com todas essas informações, o gráfico de será uma curva que passa pelos pontos (-1, 0), (0, 0) e (1, 0), com duas cúspides em onde a função atinge mínimos locais, e passando por um ponto de inflexão em . A curva sobe para ambos os lados conforme se afasta do centro.

Exercícios relacionados

Esboce os gráficos de:
Calcule a área da região limitada pela reta , pelo eixo com .
Esboce os gráficos de:
Esboce os gráficos de: