Esboce os gráficos de:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de esboçar o gráfico da função
. Aqui, a gente vai trabalhar com funções polinomiais, que são aquelas com potências inteiras de
. Para desenhar o gráfico, vamos precisar entender como a função se comporta, encontrar pontos importantes como interceptações e máximas/minimas, e analisar como a curva se comporta quando
vai para mais ou menos infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os interceptos da função.
Intercepto y: É o ponto onde a função cruza o eixo y, o que acontece quando
.
Substituindo
na função:
Então, o intercepto y é (0, 0).
Interceptos x: São os pontos onde
.
Resolvendo
:
Isso nos dá:
Então, os interceptos x são (-1, 0), (0, 0) e (1, 0).
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função para valores grandes de
, ou seja, quando
vai para mais ou menos infinito. Olhamos para o termo de maior grau:
Como o expoente é par e o coeficiente é positivo, sabemos que:
- Quando
, - Quando
,
Isso significa que os dois “fins” do gráfico apontam para cima.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos críticos para identificar máximas e mínimas locais. Para isso, calculamos a derivada da função e encontramos onde ela é zero ou não existe.
Derivada de
:
Fatorando:
Igualando a zero:
Isso dá:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 5
Vamos determinar se esses pontos críticos são máximas, mínimas ou pontos de inflexão usando o teste da segunda derivada.
Segunda derivada:
Fatorando:
Analisando em cada ponto crítico:
-
Para
: Precisaríamos de mais informações para classificar, mas geralmente, isso indica um ponto de inflexão. -
Para
: Como a segunda derivada é positiva, esses pontos são mínimos locais.
Passo 6
Agora, vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
- Interceptos: (-1, 0), (0, 0), (1, 0)
- Comportamento: Ambos os lados do gráfico vão para cima quando
tende ao infinito. - Pontos críticos: Mínimos locais em
e ponto de inflexão em
Resposta
Com todas essas informações, o gráfico de
será uma curva que passa pelos pontos (-1, 0), (0, 0) e (1, 0), com duas cúspides em
onde a função atinge mínimos locais, e passando por um ponto de inflexão em
. A curva sobe para ambos os lados conforme
se afasta do centro.
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Esboce os gráficos de:
Calcule a área da região limitada pela reta
, pelo eixo
com
.
Esboce os gráficos de:
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