Calcule o volume do conjunto de todos (x, y, z) tais que 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1 e 0 <= z <= x^2 + y^2.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de volume. O enunciado pede para calcular o volume do conjunto de todos os pontos (x, y, z) onde x e y variam de 0 a 1, e z varia de 0 até . Para isso, vamos usar integrais múltiplas, que são ferramentas do cálculo para encontrar volumes sob superfícies.

Passo 2

Primeiro, entendemos que o volume que queremos calcular está limitado pelas superfícies definidas pelas desigualdades dadas. Como z varia de 0 até , para cada ponto (x, y) no quadrado , a altura até a superfície é .

Passo 3

Para encontrar o volume total, vamos integrar a função que descreve a altura, , sobre a área do quadrado . Isso significa que usaremos uma integral dupla:

Passo 4

Vamos resolver a integral dupla separando-a em duas partes:
Primeiro, calculamos cada integral separadamente.

Passo 5

Calculando a primeira integral:

Passo 6

Calculando a segunda integral:

Passo 7

Somando os dois resultados das integrais:

Resposta

O volume é 2/3 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados