Calcule o volume do conjunto de todos
tais que
e
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de volume. O enunciado pede para calcular o volume do conjunto de todos os pontos
onde
e
variam de 0 a 1, e
varia de 0 até
. Para isso, vamos usar integrais múltiplas, que são ferramentas do cálculo para encontrar volumes sob superfícies.
Passo 2
Primeiro, entendemos que o volume que queremos calcular está limitado pelas superfícies definidas pelas desigualdades dadas. Como
varia de 0 até
, para cada ponto
no quadrado
, a altura até a superfície é
.
Passo 3
Para encontrar o volume total, vamos integrar a função que descreve a altura,
, sobre a área do quadrado
. Isso significa que usaremos uma integral dupla:
Passo 4
Vamos resolver a integral dupla separando-a em duas partes:
Primeiro, calculamos cada integral separadamente.
Passo 5
Calculando a primeira integral:
Passo 6
Calculando a segunda integral:
Passo 7
Somando os dois resultados das integrais:
Resposta
O volume é
unidades cúbicas.