Calcule a área da região limitada pelas retas
e
e pelos círculos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da região que está limitada pelas retas
(que é o eixo
),
e pelos círculos
e
. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o cálculo de áreas delimitadas por curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as equações dos círculos e das retas se comportam no plano cartesiano e usar integração para encontrar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações dos círculos. Vamos reescrevê-las na forma padrão.
Para o primeiro círculo:
Isso representa um círculo com centro em
e raio
.
Para o segundo círculo:
Este é um círculo com centro em
e raio
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde a reta
intercepta os círculos. Substituindo
nas equações dos círculos:
Para o primeiro círculo:
Então,
ou
.
Para o segundo círculo:
Assim,
ou
.
Portanto, os pontos de interseção são
,
e
.
Passo 4
Vamos visualizar para entender melhor. Temos dois círculos:
- O primeiro com centro em
e raio . - O segundo com centro em
e raio .
A reta
corta esses círculos nos pontos que encontramos. A área que queremos calcular está entre os dois círculos e abaixo da reta
.
Passo 5
Para calcular a área entre as curvas, usaremos a integração definida. A ideia é integrar a diferença entre as funções que delimitam a região.
Primeiro, expressamos
em função de
para os círculos:
- Do primeiro círculo:
- Do segundo círculo:
Como estamos interessados na região abaixo da reta
, vamos integrar de
a
para o primeiro círculo e de
a
para o segundo círculo.
Passo 6
A área
será a soma de duas integrais:
Aqui,
é a reta superior e as funções quadráticas são as inferiores.
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Podemos resolver essas integrais usando substituição ou métodos numéricos, mas para simplificação, vamos calcular os valores.
Passo 8
Calculando a primeira integral:
Após calcular, obtemos uma parte da área.
Calculando a segunda integral:
Isso nos dá a outra parte da área.
Passo 9
Somando as duas áreas calculadas nas integrais, teremos a área total da região limitada pelas retas e pelos círculos.
Resposta
A área da região limitada pelas retas
e
e pelos círculos
e
é aproximadamente
unidades de área.