(3,0) Calcule a área da região limitada pelas retas y = 0 e y = x e pelos círculos 2 x = x^2 + y^2 e 4x = x^2 + y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da região que está limitada pelas retas (que é o eixo ), e pelos círculos e . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o cálculo de áreas delimitadas por curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as equações dos círculos e das retas se comportam no plano cartesiano e usar integração para encontrar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações dos círculos. Vamos reescrevê-las na forma padrão.
Para o primeiro círculo:
Isso representa um círculo com centro em e raio .
Para o segundo círculo:
Este é um círculo com centro em e raio .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde a reta intercepta os círculos. Substituindo nas equações dos círculos:
Para o primeiro círculo:
Então, ou .
Para o segundo círculo:
Assim, ou .
Portanto, os pontos de interseção são , e .

Passo 4

Vamos visualizar para entender melhor. Temos dois círculos:
  • O primeiro com centro em e raio .
  • O segundo com centro em e raio .
A reta corta esses círculos nos pontos que encontramos. A área que queremos calcular está entre os dois círculos e abaixo da reta .

Passo 5

Para calcular a área entre as curvas, usaremos a integração definida. A ideia é integrar a diferença entre as funções que delimitam a região.
Primeiro, expressamos em função de para os círculos:
  • Do primeiro círculo:
  • Do segundo círculo:
Como estamos interessados na região abaixo da reta , vamos integrar de a para o primeiro círculo e de a para o segundo círculo.

Passo 6

A área será a soma de duas integrais:
Aqui, é a reta superior e as funções quadráticas são as inferiores.

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Podemos resolver essas integrais usando substituição ou métodos numéricos, mas para simplificação, vamos calcular os valores.

Passo 8

Calculando a primeira integral:
Após calcular, obtemos uma parte da área.
Calculando a segunda integral:
Isso nos dá a outra parte da área.

Passo 9

Somando as duas áreas calculadas nas integrais, teremos a área total da região limitada pelas retas e pelos círculos.

Resposta

A área da região limitada pelas retas e e pelos círculos e é aproximadamente unidades de área.

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