Descreva como encontramos a equação da reta tangente a uma curva polar r = f(theta).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos descobrir como encontrar a equação da reta tangente a uma curva definida em coordenadas polares pela função . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a coordenadas polares, especificamente derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que, em coordenadas polares, qualquer ponto na curva é definido por . Para encontrar a reta tangente, vamos precisar das derivadas de em relação a , ou seja, .

Passo 3

A inclinação da reta tangente em coordenadas polares não é diretamente . Precisamos converter a informação para coordenadas cartesianas para achar a inclinação da reta. As fórmulas de conversão são:
Então, derivando e em relação a , temos:

Passo 4

A inclinação da reta tangente é dada por:
Essa fórmula nos dá a inclinação da reta tangente no ponto específico .

Passo 5

Com a inclinação e as coordenadas do ponto na curva, podemos usar a equação da reta na forma:
onde é o ponto de tangência na curva.

Passo 6

Resumindo, para encontrar a equação da reta tangente a uma curva polar em um ponto específico :
  1. Calcule .
  2. Encontre as coordenadas cartesianas .
  3. Calcule a inclinação usando:
  1. Use a equação da reta com e para obter a reta tangente.

Resposta

Para encontrar a equação da reta tangente a uma curva polar , seguimos os passos descritos acima, culminando na utilização da fórmula da inclinação e da equação da reta . Isso nos permite determinar a reta que toca a curva exatamente em um ponto específico .

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