Descreva como encontramos a equação da reta tangente a uma curva polar
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos descobrir como encontrar a equação da reta tangente a uma curva definida em coordenadas polares pela função
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a coordenadas polares, especificamente derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que, em coordenadas polares, qualquer ponto na curva é definido por
. Para encontrar a reta tangente, vamos precisar das derivadas de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
A inclinação da reta tangente em coordenadas polares não é diretamente
. Precisamos converter a informação para coordenadas cartesianas para achar a inclinação
da reta. As fórmulas de conversão são:
Então, derivando
e
em relação a
, temos:
Passo 4
A inclinação
da reta tangente é dada por:
Essa fórmula nos dá a inclinação da reta tangente no ponto específico
.
Passo 5
Com a inclinação
e as coordenadas do ponto
na curva, podemos usar a equação da reta na forma:
onde
é o ponto de tangência na curva.
Passo 6
Resumindo, para encontrar a equação da reta tangente a uma curva polar
em um ponto específico
:
- Calcule
. - Encontre as coordenadas cartesianas
. - Calcule a inclinação
usando:
- Use a equação da reta com
e para obter a reta tangente.
Resposta
Para encontrar a equação da reta tangente a uma curva polar
, seguimos os passos descritos acima, culminando na utilização da fórmula da inclinação
e da equação da reta
. Isso nos permite determinar a reta que toca a curva exatamente em um ponto específico
.