(1, 5) Em que direção no ponto (1, -1, 1) a temperatura cresce mais rapidamente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir em qual direção a temperatura aumenta mais rápido no ponto . Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que vem de cálculo multivariável. O gradiente nos ajuda a encontrar a direção onde uma função, nesse caso a temperatura, cresce mais rapidamente. Então, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calculá-lo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o gradiente. Imagine que a temperatura em cada ponto do espaço é dada por uma função . O gradiente dessa função, representado por , é um vetor que aponta na direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente. Além disso, o tamanho desse vetor indica o quão rápido essa temperatura está aumentando.
Matematicamente, o gradiente é calculado assim:
Cada componente do gradiente é a derivada parcial da função temperatura em relação a uma das coordenadas.

Passo 3

Agora, para encontrar a direção em que a temperatura cresce mais rapidamente no ponto , precisamos calcular o gradiente nesse ponto específico. Supondo que já temos a função , fazemos o seguinte:
  1. Calcular as derivadas parciais: Encontre , , e .
  2. Avaliar no ponto dado: Substitua , e nas derivadas parciais para obter os valores numéricos.
  3. Construir o vetor gradiente: Combine esses valores em um vetor.
Por exemplo, se após calcular as derivadas parciais e substituí-las no ponto você obtiver:
Então, a direção de máximo aumento de temperatura é na direção desse vetor.

Resposta

A temperatura cresce mais rapidamente na direção do vetor gradiente . Para a direção específica, é preciso calcular as derivadas parciais da função temperatura no ponto dado e formar o vetor gradiente.

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