Em que direção no ponto
a temperatura cresce mais rapidamente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer descobrir em qual direção a temperatura aumenta mais rápido no ponto
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que vem de cálculo multivariável. O gradiente nos ajuda a encontrar a direção onde uma função, nesse caso a temperatura, cresce mais rapidamente. Então, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calculá-lo.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o gradiente. Imagine que a temperatura em cada ponto do espaço é dada por uma função
. O gradiente dessa função, representado por
, é um vetor que aponta na direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente. Além disso, o tamanho desse vetor indica o quão rápido essa temperatura está aumentando.
Matematicamente, o gradiente é calculado assim:
Cada componente do gradiente é a derivada parcial da função temperatura em relação a uma das coordenadas.
Passo 3
Agora, para encontrar a direção em que a temperatura cresce mais rapidamente no ponto
, precisamos calcular o gradiente
nesse ponto específico. Supondo que já temos a função
, fazemos o seguinte:
- Calcular as derivadas parciais: Encontre
, , e . - Avaliar no ponto dado: Substitua
, e nas derivadas parciais para obter os valores numéricos. - Construir o vetor gradiente: Combine esses valores em um vetor.
Por exemplo, se após calcular as derivadas parciais e substituí-las no ponto
você obtiver:
Então, a direção de máximo aumento de temperatura é na direção desse vetor.
Resposta
A temperatura cresce mais rapidamente na direção do vetor gradiente
. Para a direção específica, é preciso calcular as derivadas parciais da função temperatura no ponto dado e formar o vetor gradiente.