Estude a convergência das séries abaixo utilizando o Critério de Raabe:
sumn=1^infty 2^nn^3

Passo 1

Vamos analisar a série . O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge usando o Critério de Raabe. Para isso, precisamos conhecer a definição do Critério de Raabe, que é uma ferramenta para analisar a convergência de séries infinitas.

Passo 2

O Critério de Raabe é uma extensão do Teste da Razão. Ele é aplicado da seguinte forma: calculamos
R = limn to infty n ( anan+1 - 1 )
onde é o termo geral da série. Se:
  • , a série converge.
  • , a série diverge.
  • , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar an = 2^nn^3 para nossa série. Aqui,
an+1 = 2^n+1(n+1)^3 = 2 cdot 2^n(n+1)^3
E,

Passo 4

Agora, vamos calcular anan+1 = 2^nn^32 cdot 2^n(n+1)^3 = (n+1)^32 cdot n^3 :

Passo 5

Substituindo na fórmula do Critério de Raabe:
R = limn to infty n ( (n+1)^32 cdot n^3 - 1 ) = limn to infty n ( (n+1)^3 - 2n^32n^3 )
Vamos expandir (n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 :
R = limn to infty n ( n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - 2n^32n^3 ) = limn to infty n ( -n^3 + 3n^2 + 3n + 12n^3 )
Então,

Passo 6

Simplificando o numerador:
-n^3 + 3n^2 + 3n + 1 = -n^3 (1 - 3n - 3n^2 - 1n^3)
Assim,
R = limn to infty n ( -n^3 (1 - 3n - 3n^2 - 1n^3)2n^3 ) = limn to infty n ( -1 + 3n + 3n^2 + 1n^32 )

Passo 7

À medida que R = limn to infty n ( -12 ) = limn to infty ( -n2 ) = -infty tende ao infinito, , e tendem a zero. Então,

Resposta

Como , pelo Critério de Raabe, a série diverge.

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