Estude a convergência das séries abaixo utilizando o Critério de Raabe:

Passo 1

Vamos analisar a série . O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge usando o Critério de Raabe. Para isso, precisamos conhecer a definição do Critério de Raabe, que é uma ferramenta para analisar a convergência de séries infinitas.

Passo 2

O Critério de Raabe é uma extensão do Teste da Razão. Ele é aplicado da seguinte forma: calculamos
onde é o termo geral da série. Se:
  • , a série converge.
  • , a série diverge.
  • , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar para nossa série. Aqui,
E,

Passo 4

Agora, vamos calcular :

Passo 5

Substituindo na fórmula do Critério de Raabe:
Vamos expandir :
Então,

Passo 6

Simplificando o numerador:
Assim,

Passo 7

À medida que tende ao infinito, , e tendem a zero. Então,

Resposta

Como , pelo Critério de Raabe, a série diverge.

Exercícios relacionados

Utilizando os testes da razão e da raiz, discuta para quais valores há convergência nas séries abaixo:
Seja a região do plano limitada pelas curvas e e pelas reta . Determine o volume do sólido obtido pela rotação de em torno da reta .
Estude a convergência das séries abaixo utilizando o Critério de Raabe:
Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas: e e o eixo .