Estude a convergência das séries abaixo utilizando o Critério de Raabe:
Passo 1
Vamos analisar a série
. O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge usando o Critério de Raabe. Para isso, precisamos conhecer a definição do Critério de Raabe, que é uma ferramenta para analisar a convergência de séries infinitas.
Passo 2
O Critério de Raabe é uma extensão do Teste da Razão. Ele é aplicado da seguinte forma: calculamos
onde
é o termo geral da série. Se:
-
, a série converge. -
, a série diverge. -
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos identificar
para nossa série. Aqui,
E,
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Substituindo na fórmula do Critério de Raabe:
Vamos expandir
:
Então,
Passo 6
Simplificando o numerador:
Assim,
Passo 7
À medida que
tende ao infinito,
,
e
tendem a zero. Então,
Resposta
Como
, pelo Critério de Raabe, a série
diverge.
Exercícios relacionados
Utilizando os testes da razão e da raiz, discuta para quais valores
há convergência nas séries abaixo:
Seja
a região do plano
limitada pelas curvas
e
e pelas reta
. Determine o volume do sólido obtido pela rotação de
em torno da reta
.
Estude a convergência das séries abaixo utilizando o Critério de Raabe:
Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas:
e e o eixo
.