Calcule a área da região limitada pelas três curvas y = x^2, y = 8 - x^2 e 4x - y + 12 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área da região limitada por três curvas: , e . Isso envolve estudar um pouco de cálculo, especificamente integração, para encontrar áreas entre curvas. Vamos precisar descobrir onde essas curvas se encontram para saber entre quais pontos vamos integrar e depois configurar a integral para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas e . Para isso, igualamos as duas equações:
Somando dos dois lados:
Dividindo por 2:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos descobrir onde a linha se intersecta com as parábolas. Primeiro, reescrevemos a equação da linha:
Vamos encontrar a interseção com :
Arrumando:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então:
Correspondente a e .
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Fazendo o mesmo para :
Arrumando:
Essa é uma equação quadrática perfeita:
Então, a única interseção aqui é .

Passo 5

Agora, vamos visualizar as curvas:
  • : parábola abrindo para cima.
  • : parábola abrindo para baixo.
  • : linha reta com inclinação positiva.
Os pontos de interseção nos mostram que a região fechada está limitada entre e pelas parábolas, e a linha passa por . Parece que a área que queremos está entre e , sob a linha e entre as parábolas.

Passo 6

Para calcular a área, vamos integrar a diferença das funções que formam o limite superior e inferior da região. Observando as curvas entre e :
  • A curva superior é .
  • A curva inferior é .
A linha só toca essa região no ponto , então para a área entre e , podemos considerar apenas as parábolas.
Então, a área é:

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Avaliando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A área da região limitada pelas três curvas é unidades de área.

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