Calcule a área da região limitada pelas três curvas
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área da região limitada por três curvas:
,
e
. Isso envolve estudar um pouco de cálculo, especificamente integração, para encontrar áreas entre curvas. Vamos precisar descobrir onde essas curvas se encontram para saber entre quais pontos vamos integrar e depois configurar a integral para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas
e
. Para isso, igualamos as duas equações:
Somando
dos dois lados:
Dividindo por 2:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos descobrir onde a linha
se intersecta com as parábolas. Primeiro, reescrevemos a equação da linha:
Vamos encontrar a interseção com
:
Arrumando:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então:
Correspondente a
e
.
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Fazendo o mesmo para
:
Arrumando:
Essa é uma equação quadrática perfeita:
Então, a única interseção aqui é
.
Passo 5
Agora, vamos visualizar as curvas:
-
: parábola abrindo para cima. -
: parábola abrindo para baixo. -
: linha reta com inclinação positiva.
Os pontos de interseção nos mostram que a região fechada está limitada entre
e
pelas parábolas, e a linha passa por
. Parece que a área que queremos está entre
e
, sob a linha e entre as parábolas.
Passo 6
Para calcular a área, vamos integrar a diferença das funções que formam o limite superior e inferior da região. Observando as curvas entre
e
:
- A curva superior é
. - A curva inferior é
.
A linha
só toca essa região no ponto
, então para a área entre
e
, podemos considerar apenas as parábolas.
Então, a área
é:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Avaliando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região limitada pelas três curvas é
unidades de área.