Mostre que a função
é contínua no intervalo
.
Passo 1
Beleza! A questão pede para mostrar que a função
é contínua no intervalo
. Isso está relacionado ao tema de continuidade de funções em Análise Matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que é continuidade e verificar isso para a função dada em todo o intervalo especificado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em um ponto
se três condições forem satisfeitas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
é igual a .
Vamos verificar essas condições para a função
em todo o intervalo
.
Passo 3
Primeiro, vamos ver onde a função
está definida. A expressão dentro da raiz quadrada,
, precisa ser não negativa porque não podemos tirar a raiz de um número negativo (no conjunto dos números reais). Então:
Isso mostra que a função está definida para todos os
no intervalo
, atendendo à primeira condição de continuidade.
Passo 4
Agora, vamos verificar o limite de
quando
se aproxima de qualquer ponto
dentro de
. A função
é composta por funções contínuas:
- A raiz quadrada
é contínua onde está definida, ou seja, em . - Operações de adição e subtração de funções contínuas resultam em funções contínuas.
Portanto, o limite de
quando
se aproxima de
é simplesmente
, já que todas as partes da função são contínuas.
Passo 5
Como o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
para todo
em
, todas as três condições de continuidade são satisfeitas em cada ponto do intervalo.
Resposta
A função
é contínua no intervalo
.