Mostre que a função f(x) = 1 - raiz(1 - x^2) é contínua no intervalo [-1, 1].

Passo 1

Beleza! A questão pede para mostrar que a função é contínua no intervalo . Isso está relacionado ao tema de continuidade de funções em Análise Matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que é continuidade e verificar isso para a função dada em todo o intervalo especificado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de é igual a .
Vamos verificar essas condições para a função em todo o intervalo .

Passo 3

Primeiro, vamos ver onde a função está definida. A expressão dentro da raiz quadrada, , precisa ser não negativa porque não podemos tirar a raiz de um número negativo (no conjunto dos números reais). Então:
Isso mostra que a função está definida para todos os no intervalo , atendendo à primeira condição de continuidade.

Passo 4

Agora, vamos verificar o limite de quando se aproxima de qualquer ponto dentro de . A função é composta por funções contínuas:
  • A raiz quadrada é contínua onde está definida, ou seja, em .
  • Operações de adição e subtração de funções contínuas resultam em funções contínuas.
Portanto, o limite de quando se aproxima de é simplesmente , já que todas as partes da função são contínuas.

Passo 5

Como o limite de quando se aproxima de é igual a para todo em , todas as três condições de continuidade são satisfeitas em cada ponto do intervalo.

Resposta

A função é contínua no intervalo .

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