Nos itens a seguir, desenhe o conjunto
dado e calcule a sua área:
é o conjunto do plano limitado pela reta
e pelo gráfico de
, com
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto
no plano que é delimitado pela reta
e pelo gráfico da função
, onde
varia de
até
. Nosso objetivo aqui é desenhar esse conjunto e calcular a área que ele ocupa. Para isso, vamos precisar entender como essas duas funções se comportam e encontrar os pontos onde elas se encontram, pra depois calcular a área entre elas usando cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar os gráficos das duas funções para visualizar o conjunto
.
-
Gráfico da reta
: Essa é uma reta horizontal que corta o eixo no ponto . -
Gráfico da função
: Essa é uma parábola. Podemos reescrever a função para facilitar o desenho: Note que o coeficiente deé negativo, então a parábola abre para baixo.
Vamos também determinar os pontos onde essas duas funções se interceptam dentro do intervalo
.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
Resolvendo essa equa�o:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Isso nos dá dois valores de
:
Dentro do intervalo
, apenas
é válido. Portanto, as funções se intersectam em
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área entre as duas curvas no intervalo de
a
. A área
entre duas curvas
e
de
a
é dada por:
No nosso caso,
e
. Então, a área fica:
Vamos integrar termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
Agora, subtraindo:
Resposta
A área do conjunto
é de 3 unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Repita o argumento do exercício anterior para as funções abaixo. Neste caso, você encontrará 3 raízes para a equação
, digamos
. A área agora será calculada como a soma de duas integrais, uma do tipo
e outra do tipo
. Em cada uma delas, você deve integrar a função que está por cima, menos a que está por baixo no intervalo de integração.
.
Repita o argumento do exercício anterior para as funções abaixo. Neste caso, você encontrará 3 raízes para a equação
, digamos
. A área agora será calculada como a soma de duas integrais, uma do tipo
e outra do tipo
. Em cada uma delas, você deve integrar a função que está por cima, menos a que está por baixo no intervalo de integração.
;
<html><head></head><body><div>Calcule a área da região limitada pelas três curvas <span class="math-inline ">
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