Nos itens a seguir, desenhe o conjunto A dado e calcule a sua área:
A é o conjunto do plano limitado pela reta y = 1 e pelo gráfico de y = 4 - 2 x - x^2, com -1 <= x <= 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto no plano que é delimitado pela reta e pelo gráfico da função , onde varia de até . Nosso objetivo aqui é desenhar esse conjunto e calcular a área que ele ocupa. Para isso, vamos precisar entender como essas duas funções se comportam e encontrar os pontos onde elas se encontram, pra depois calcular a área entre elas usando cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar os gráficos das duas funções para visualizar o conjunto .
  1. Gráfico da reta : Essa é uma reta horizontal que corta o eixo no ponto .
  2. Gráfico da função : Essa é uma parábola. Podemos reescrever a função para facilitar o desenho:
    Note que o coeficiente de é negativo, então a parábola abre para baixo.
Vamos também determinar os pontos onde essas duas funções se interceptam dentro do intervalo .

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
Resolvendo essa equa�o:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Isso nos dá dois valores de :
Dentro do intervalo , apenas é válido. Portanto, as funções se intersectam em .

Passo 4

Agora, vamos calcular a área entre as duas curvas no intervalo de a . A área entre duas curvas e de a é dada por:
No nosso caso, e . Então, a área fica:
Vamos integrar termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Agora, subtraindo:

Resposta

A área do conjunto é de 3 unidades quadradas.

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