Repita o argumento do exercício anterior para as funções abaixo. Neste caso, você encontrará 3 raízes para a equação f(x)=g(x), digamos a. A área agora será calculada como a soma de duas integrais, uma do tipo integrala^b e outra do tipo integralb^c. Em cada uma delas, você deve integrar a função que está por cima, menos a que está por baixo no intervalo de integração.
f(x)=4 x, g(x)=x^3+3 x^2.

Passo 1

Ok, vamos lá! O problema pede para encontrarmos a área entre as duas funções e . Primeiro, precisamos entender que para calcular essa área, precisamos identificar onde as duas funções se encontram, ou seja, encontrar os pontos onde . Esses pontos são chamados de raízes da equação . Depois de encontrar essas raízes, que serão , vamos calcular a área como a soma de duas integrais: uma de até e outra de até . Em cada intervalo, vamos integrar a função que está por cima menos a que está por baixo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação 4x = x^3 + 3x^2 . Para isso, vamos igualar as funções e resolver para x^3 + 3x^2 - 4x = 0 :
x(x^2 + 3x - 4) = 0
Vamos reorganizar a equação para igualar a zero:
x = -3 pm raiz9 + 162 = -3 pm raiz252 = -3 pm 52
Podemos fatorar x = -3 + 52 = 1 e x = -3 - 52 = -4 da equação:
Agora, temos duas partes: e a equação quadrática . Resolvendo a quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, as três raízes são , e .

Passo 3

Agora que temos as raízes f(-2) = 4(-2) = -8 , g(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 = -8 + 12 = 4 e f(0.5) = 4(0.5) = 2 , precisamos determinar qual função está por cima em cada intervalo para calcular a área corretamente.
Vamos analisar os intervalos g(0.5) = (0.5)^3 + 3(0.5)^2 = 0.125 + 0.75 = 0.875 e .
Escolhendo um ponto de teste em , por exemplo :
Aqui, está acima de .
Agora, escolhendo um ponto de teste em , por exemplo :
Neste caso, está acima de .

Passo 4

Agora que sabemos qual função está por cima em cada intervalo, podemos configurar as integrais para calcular a área.
No intervalo integral-4^0 [g(x) - f(x)] , dx = integral-4^0 [(x^3 + 3x^2) - 4x] , dx , integral0^1 [f(x) - g(x)] , dx = integral0^1 [4x - (x^3 + 3x^2)] , dx está por cima, então a integral será:
No intervalo , está por cima, então a integral será:
A área total será a soma dessas duas integrais.

Passo 5

Vamos calcular a primeira integral:
integral-4^0 (x^3 + 3x^2 - 4x) , dx
Integrando termo a termo:
x^44 + 3x^33 - 4x^22 |-4^0 = x^44 + x^3 - 2x^2 |-4^0
Calculando nos limites:
Para 0^44 + 0^3 - 2(0)^2 = 0 :
(-4)^44 + (-4)^3 - 2(-4)^2 = 2564 -64 - 32 = 64 - 64 - 32 = -32
Para 0 - (-32) = 32 :
Então, a primeira integral é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral0^1 (4x - x^3 - 3x^2) , dx
Integrando termo a termo:
2x^2 - x^44 - 3x^33 |0^1 = 2x^2 - x^44 - x^3 |0^1
Calculando nos limites:
Para 2(1)^2 - 1^44 - (1)^3 = 2 - 14 - 1 = 0.75 :
2(0)^2 - 0^44 - (0)^3 = 0
Para 0.75 - 0 = 0.75 :
Então, a segunda integral é:

Resposta

A área total entre as funções 32 + 0.75 = 32.75 unidades de área e é:
á

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