Repita o argumento do exercício anterior para as funções abaixo. Neste caso, você encontrará 3 raízes para a equação , digamos . A área agora será calculada como a soma de duas integrais, uma do tipo e outra do tipo . Em cada uma delas, você deve integrar a função que está por cima, menos a que está por baixo no intervalo de integração. .
Passo 1
Ok, vamos lá! O problema pede para encontrarmos a área entre as duas funções e . Primeiro, precisamos entender que para calcular essa área, precisamos identificar onde as duas funções se encontram, ou seja, encontrar os pontos onde . Esses pontos são chamados de raízes da equação . Depois de encontrar essas raízes, que serão , vamos calcular a área como a soma de duas integrais: uma de até e outra de até . Em cada intervalo, vamos integrar a função que está por cima menos a que está por baixo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação . Para isso, vamos igualar as funções e resolver para :
Vamos reorganizar a equação para igualar a zero:
Podemos fatorar da equação:
Agora, temos duas partes: e a equação quadrática . Resolvendo a quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, as três raízes são , e .
Passo 3
Agora que temos as raízes , e , precisamos determinar qual função está por cima em cada intervalo para calcular a área corretamente.
Vamos analisar os intervalos e .
Escolhendo um ponto de teste em , por exemplo :
Aqui, está acima de .
Agora, escolhendo um ponto de teste em , por exemplo :
Neste caso, está acima de .
Passo 4
Agora que sabemos qual função está por cima em cada intervalo, podemos configurar as integrais para calcular a área.
No intervalo , está por cima, então a integral será:
No intervalo , está por cima, então a integral será: