Calcule a área da região limitada por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está entre as curvas das funções
e
. Isso está relacionado ao estudo de cálculo de áreas entre curvas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as duas curvas que temos:
-
: Essa é uma função raiz quadrada que está definida para . -
: Podemos reescrever isso para ficar mais fácil de trabalhar:
Agora, temos duas expressões para
.
Passo 3
Para encontrar a área entre essas curvas, precisamos saber onde elas se encontram. Isso significa que vamos encontrar os valores de
onde
.
Vamos resolver essa equação:
Passo 4
Para resolver
, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Agora, vamos rearranjar a equação para resolver para
:
Isso é uma equação quadrática que podemos resolver fatorando:
Assim, as soluções são
e
.
Passo 6
Sabemos que as curvas se encontram em
e
. Agora, precisamos determinar qual função está acima da outra nesse intervalo para configurar a integral corretamente.
Vamos avaliar as funções em
:
Aqui,
. Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 7
A área entre as duas curvas de
a
pode ser encontrada integrando a diferença entre as funções superiores e inferiores:
Passo 8
Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte separadamente:
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 9
Agora, avaliamos as integrais de 1 a 2:
Primeira parte:
Segunda parte:
Passo 10
Subtraindo as duas partes para encontrar a área total:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Prove que a igualdade abaixo é verdadeira.
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno da reta
.
(2 Pontos) Calcule:
, onde B é a região semicircular limitada pelo eixo
e a curva