Calcule a área da região limitada por:
y = raiz(x - 1) e x - y = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está entre as curvas das funções e . Isso está relacionado ao estudo de cálculo de áreas entre curvas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as duas curvas que temos:
  1. : Essa é uma função raiz quadrada que está definida para .
  2. : Podemos reescrever isso para ficar mais fácil de trabalhar:
Agora, temos duas expressões para .

Passo 3

Para encontrar a área entre essas curvas, precisamos saber onde elas se encontram. Isso significa que vamos encontrar os valores de onde .
Vamos resolver essa equação:

Passo 4

Para resolver , vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 5

Agora, vamos rearranjar a equação para resolver para :
Isso é uma equação quadrática que podemos resolver fatorando:
Assim, as soluções são e .

Passo 6

Sabemos que as curvas se encontram em e . Agora, precisamos determinar qual função está acima da outra nesse intervalo para configurar a integral corretamente.
Vamos avaliar as funções em :
Aqui, . Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 7

A área entre as duas curvas de a pode ser encontrada integrando a diferença entre as funções superiores e inferiores:
Á

Passo 8

Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte separadamente:
Primeira integral:
Segunda integral:

Passo 9

Agora, avaliamos as integrais de 1 a 2:
Primeira parte:
Segunda parte:

Passo 10

Subtraindo as duas partes para encontrar a área total:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades de área.

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