(2 Pontos) Calcule: integral duplaB e^(x^2+y^2) d x d y, onde B é a região semicircular limitada pelo eixo x e a curva y=raiz1-x^2

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla integral duplaB e^(x^2+y^2) dx , dy, onde B é a região semicircular delimitada pelo eixo x e pela curva y=raiz1-x^2. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são muito úteis para integrar sobre regiões circulares ou semicirculares.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, theta):
x = r cos(theta) y = r sin(theta)
O elemento de área em coordenadas polares é dado por dA = r , dr , dtheta.
A região B é um semicírculo de raio 1 acima do eixo x, então:
  • O raio r varia de 0 a 1.
  • O ângulo theta varia de 0 a pi (já que é a parte superior do círculo).

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral duplaB e^x^2+y^2 dx , dy = integral0^pi integral0^1 e^r^2 cdot r , dr , dtheta
Vamos resolver a integral interna em relação a r:
integral0^1 e^r^2 cdot r , dr
Fazendo a substituição u = r^2, então du = 2r , dr ou r , dr = du2:
integral e^u cdot du2 = 12 e^u + C
Voltando para r:
12 e^r^2 |0^1 = 12 (e^1 - e^0) = 12 (e - 1)
Agora, integramos em relação a theta:
integral0^pi 12 (e - 1) , dtheta = 12 (e - 1) cdot pi = pi2 (e - 1)

Resposta

A integral dupla vale pi2 (e - 1).

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