(2 Pontos) Calcule: , onde B é a região semicircular limitada pelo eixo e a curva
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla , onde é a região semicircular delimitada pelo eixo e pela curva . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são muito úteis para integrar sobre regiões circulares ou semicirculares.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares :
O elemento de área em coordenadas polares é dado por .
A região é um semicírculo de raio 1 acima do eixo , então:
O raio varia de a .
O ângulo varia de a (já que é a parte superior do círculo).
Passo 3
Substituindo na integral original:
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo a substituição , então ou :
Voltando para :
Agora, integramos em relação a theta:
integral0^pi 12 (e - 1) , dtheta = 12 (e - 1) cdot pi = pi2 (e - 1)