integral0^pi sen^4(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral de potência de seno, que faz parte do estudo de cálculo integral. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar potências de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar sin^4(x) = 3 - 4cos(2x) + cos(4x)8 usando uma identidade trigonométrica de redução de potência. A fórmula para é:
Essa identidade nos ajuda a transformar uma potência de seno em uma combinação de funções trigonométricas de múltiplos ângulos, o que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, substituímos integral0^pi sin^4(x) , dx = integral0^pi 3 - 4cos(2x) + cos(4x)8 , dx na integral original:
18 integral0^pi 3 , dx - 48 integral0^pi cos(2x) , dx + 18 integral0^pi cos(4x) , dx
Podemos separar isso em três integrais:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Resposta

Somando tudo, a integral vale .

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