integral0^pi sen^4(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral de potência de seno, que faz parte do estudo de cálculo integral. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar potências de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar sin^4(x) = 3 - 4cos(2x) + cos(4x)8 usando uma identidade trigonométrica de redução de potência. A fórmula para é:
Essa identidade nos ajuda a transformar uma potência de seno em uma combinação de funções trigonométricas de múltiplos ângulos, o que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, substituímos integral0^pi sin^4(x) , dx = integral0^pi 3 - 4cos(2x) + cos(4x)8 , dx na integral original:
18 integral0^pi 3 , dx - 48 integral0^pi cos(2x) , dx + 18 integral0^pi cos(4x) , dx
Podemos separar isso em três integrais:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Resposta

Somando tudo, a integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule a área da região limitada por:
y = raiz(x - 1) e x - y = 1
Prove que a igualdade abaixo é verdadeira.
integral xraiza+b x d x=23 b^2(b x-2 a) raiza+b x+C
(2 Pontos) Calcule: integral duplaB e^(x^2+y^2) d x d y, onde B é a região semicircular limitada pelo eixo x e a curva y=raiz1-x^2
Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
integral0^1 x-1x d x