Prove que a igualdade abaixo é verdadeira.
integral xraiza+b x d x=23 b^2(b x-2 a) raiza+b x+C

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a integral é igual a . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, como substituição e manipulação algébrica. Vamos precisar usar uma substituição para simplificar a integral e depois integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar du = b , dx Rightarrow dx = dub . Dessa forma, vamos encontrar u = a + b x Rightarrow x = u - ab :
Também, expressamos em termos de :

Passo 3

Agora, substituímos integral xraiza+b x d x = integral u - abraizu cdot dub = 1b^2 integral u - araizu du e na integral original:

Passo 4

Vamos separar a fração dentro da integral:
u - araizu = uraizu - araizu = u^1/2 - a u^-1/2
Então, a integral fica:
1b^2 integral ( u^1/2 - a u^-1/2 ) du

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^1/2 du = 23 u^3/2 e integral u^-1/2 du = 2 u^1/2
Substituindo de volta:
1b^2 ( 23 u^3/2 - 2 a u^1/2 ) + C

Passo 6

Agora, substituímos 1b^2 ( 23 (a + b x)^3/2 - 2 a (a + b x)^1/2 ) + C de volta na expressão:
23 b^2 ( (a + b x) - 3 a(a + b x)^1/2 ) (a + b x)^1/2 + C = 23 b^2 (b x - 2 a) raiza + b x + C
Podemos fatorar :

Resposta

Portanto, provamos que:
integral xraiza+b x d x = 23 b^2(b x-2 a) raiza+b x + C

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