Prove que a igualdade abaixo é verdadeira.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a integral
é igual a
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, como substituição e manipulação algébrica. Vamos precisar usar uma substituição para simplificar a integral e depois integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar
. Dessa forma, vamos encontrar
:
Também, expressamos
em termos de
:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 4
Vamos separar a fração dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, substituímos
de volta na expressão:
Podemos fatorar
:
Resposta
Portanto, provamos que:
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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno da reta
.
Desenhe o conjunto
e calcule a área.
é a região entre as curvas
e
, limitada à esquerda pela reta
è̀ direita por
.
Calcule a área da região limitada por: