Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas y = e^x e y = 2 em torno da reta x = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando giramos a área entre as curvas e em torno da reta . Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica para calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as curvas se encontram para saber os limites de integração. Precisamos resolver .
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Então, as curvas se intersectam em . Nosso intervalo de integração vai de até .

Passo 3

Agora, vamos visualizar o sólido de rotação. Quando giramos em torno da reta , estamos girando em torno de uma linha vertical. Para usar o método dos anéis, precisamos calcular o raio de cada anel.
O raio externo é a distância de até , que é .
O raio interno é a distância de até , que é .

Passo 4

A área de cada anel é dada pela diferença entre as áreas dos discos maiores e menores.
A área de um disco com raio é , e a área de um disco com raio é .
Então, a área do anel é:

Passo 5

Vamos expandir a expressão dentro do parêntese:
Então, a área do anel fica:

Passo 6

Para encontrar o volume total, integramos essa área em relação a desde até :

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos de a :

Resposta

O volume do sólido é .

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