Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando giramos a área entre as curvas
e
em torno da reta
. Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica para calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde as curvas se encontram para saber os limites de integração. Precisamos resolver
.
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Então, as curvas se intersectam em
. Nosso intervalo de integração vai de
até
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar o sólido de rotação. Quando giramos em torno da reta
, estamos girando em torno de uma linha vertical. Para usar o método dos anéis, precisamos calcular o raio de cada anel.
O raio externo
é a distância de
até
, que é
.
O raio interno
é a distância de
até
, que é
.
Passo 4
A área de cada anel é dada pela diferença entre as áreas dos discos maiores e menores.
A área de um disco com raio
é
, e a área de um disco com raio
é
.
Então, a área do anel é:
Passo 5
Vamos expandir a expressão dentro do parêntese:
Então, a área do anel fica:
Passo 6
Para encontrar o volume total, integramos essa área em relação a
desde
até
:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos de
a
:
Resposta
O volume do sólido é
.
Exercícios relacionados
Desenhe o conjunto
e calcule a área.
é a região entre as curvas
e
, limitada à esquerda pela reta
è̀ direita por
.
Calcule o volume do solido. O sólido está situado entre planos perpendiculares ao eixo
em
e
. As seções transversais perpendiculares ao eixo
são tiângulos equiláteros cujas bases se estendem da curva
à curva
.
Prove que a igualdade abaixo é verdadeira.
Calcule a área da região limitada por: