Calcule a área da região do plano delimitada pelas parábolas e , usando a mudança de variável e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a área da região no plano que é delimitada por quatro parábolas: , , e . Para isso, a gente vai usar uma mudança de variável específica: e . Basicamente, vamos precisar entender como essas curvas se interceptam e aplicar cálculo integral com essa troca de variáveis para achar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar quais são essas parábolas:
: Uma parábola que abre para cima.
: Outra parábola que também abre para cima, mas mais “aberta” que a anterior.
: Uma parábola que abre para a direita.
: Outra parábola que abre para a direita, mas mais “aberta”.
Essas quatro curvas vão delimitar uma região no plano que vamos precisar calcular a área.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas parábolas para saber os limites da nossa região.
Intersecção de com :
Substituindo na segunda equação: .
Soluções: e .
Correspondentes valores de :
Para : .
Para : .
Então, pontos de interseção: e .
Intersecção de com :
Substituindo na segunda equação: .
Soluções: e (já que ).
Correspondentes valores de :
Para : .
Para : .
Pontos de interseção: e .
Assim, nossa região está delimitada entre e , e entre e .
Passo 4
Agora, vamos aplicar a mudança de variável proposta: e .
Isso significa que vamos substituir as variáveis originais e por novas variáveis e para simplificar a integração.
Vamos expressar e em termos de e :
Da equação , temos .
Da equação , substituindo da primeira equação: .
Daí, .
Substituindo de volta na expressão de : .
Então, temos:
Passo 5
Precisamos calcular o Jacobiano dessa mudança de variável para ajustar a área na nova coordenada e .
O Jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Montando o determinante:
Então, o valor absoluto do Jacobiano é .
Passo 6
Agora, precisamos expressar os limites de integração na nova coordenada e .
Observando as curvas originais e a mudança de variável:
Para : Substituindo na mudança, .
Usando , temos .
Para : Similarmente, .
Usando , temos .
Para : Substituindo, .
Usando , temos .
Para : Similarmente, .
Usando , temos .
Então, os limites são:
Passo 7
Agora, montamos a integral para calcular a área:
Á
Passo 8
Calculando a integral:
Á
Resposta
A área da região delimitada pelas parábolas é unidades quadradas.