Calcule a área da região do plano delimitada pelas parábolas x^2 = y, x^2 = 2y, y^2 = x e y^2 = 2 x, usando a mudança de variável x^2 = y u e y^2 = x v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a área da região no plano que é delimitada por quatro parábolas: , , e . Para isso, a gente vai usar uma mudança de variável específica: e . Basicamente, vamos precisar entender como essas curvas se interceptam e aplicar cálculo integral com essa troca de variáveis para achar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar quais são essas parábolas:
  1. : Uma parábola que abre para cima.
  2. : Outra parábola que também abre para cima, mas mais “aberta” que a anterior.
  3. : Uma parábola que abre para a direita.
  4. : Outra parábola que abre para a direita, mas mais “aberta”.
Essas quatro curvas vão delimitar uma região no plano que vamos precisar calcular a área.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas parábolas para saber os limites da nossa região.
  1. Intersecção de com :
    • Substituindo na segunda equação: .
    • Soluções: e .
    • Correspondentes valores de :
      • Para : .
      • Para : .
    • Então, pontos de interseção: e .
  2. Intersecção de com :
    • Substituindo na segunda equação: .
    • Soluções: e (já que ).
    • Correspondentes valores de :
      • Para : .
      • Para : .
    • Pontos de interseção: e .
Assim, nossa região está delimitada entre e , e entre e .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a mudança de variável proposta: e .
Isso significa que vamos substituir as variáveis originais e por novas variáveis e para simplificar a integração.
Vamos expressar e em termos de e :
  1. Da equação , temos .
  2. Da equação , substituindo da primeira equação: .
    • Daí, .
  3. Substituindo de volta na expressão de : .
Então, temos:

Passo 5

Precisamos calcular o Jacobiano dessa mudança de variável para ajustar a área na nova coordenada e .
O Jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Montando o determinante:
Então, o valor absoluto do Jacobiano é .

Passo 6

Agora, precisamos expressar os limites de integração na nova coordenada e .
Observando as curvas originais e a mudança de variável:
  1. Para : Substituindo na mudança, .
    • Usando , temos .
  2. Para : Similarmente, .
    • Usando , temos .
  3. Para : Substituindo, .
    • Usando , temos .
  4. Para : Similarmente, .
    • Usando , temos .
Então, os limites são:

Passo 7

Agora, montamos a integral para calcular a área:
Á

Passo 8

Calculando a integral:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas parábolas é unidades quadradas.

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