Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas: integral0^2 integral0^raiz4-y^2 x^2+y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma integral dupla na forma cartesiana:
integral0^2 integral0^raiz4 - y^2 (x^2 + y^2) , dx , dy
O objetivo é calcular essa integral usando coordenadas polares. Isso envolve mudar as variáveis de e para e , que muitas vezes simplificam integrais sobre regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em coordenadas polares:
x = r cos theta y = r sin theta
E o elemento de área se transforma em .

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração na forma cartesiana para converter para coordenadas polares. A integral está definida para de 0 a 2 e, para cada , vai de 0 a . Isso descreve o primeiro quadrante de um círculo de raio 2 centrado na origem.
Em coordenadas polares, isso significa que vai de 0 a (primeiro quadrante) e vai de 0 a 2 (raio do círculo).

Passo 4

Vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares usando as novas variáveis e os limites que determinamos:
integral0^pi2 integral0^2 (r^2) cdot r , dr , dtheta
Aqui, substituímos por e por .

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
integral0^pi2 integral0^2 r^3 , dr , dtheta
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a integral0^2 r^3 , dr = [ r^44 ]0^2 = 2^44 - 0^44 = 164 = 4 :

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integração com integral0^pi2 4 , dtheta = 4 cdot [ theta ]0^pi2 = 4 cdot ( pi2 - 0 ) = 4 cdot pi2 = 2pi na integral em relação a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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