Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma integral dupla na forma cartesiana:
O objetivo é calcular essa integral usando coordenadas polares. Isso envolve mudar as variáveis de
e
para
e
, que muitas vezes simplificam integrais sobre regiões circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em coordenadas polares:
E o elemento de área
se transforma em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de integração na forma cartesiana para converter para coordenadas polares. A integral está definida para
de 0 a 2 e, para cada
,
vai de 0 a
. Isso descreve o primeiro quadrante de um círculo de raio 2 centrado na origem.
Em coordenadas polares, isso significa que
vai de 0 a
(primeiro quadrante) e
vai de 0 a 2 (raio do círculo).
Passo 4
Vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares usando as novas variáveis e os limites que determinamos:
Aqui, substituímos
por
e
por
.
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da integral:
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integração com
na integral em relação a
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Calcule a área da região do plano delimitada pelas parábolas
e
, usando a mudança de variável
e
.
Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais.
Calcule
em cada um dos seguintes casos:
, D é o triângulo de vértices
e
.
Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas: