Calcule
em cada um dos seguintes casos:
, D é o triângulo de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é um triângulo com vértices nos pontos
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões planas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a região
onde vamos integrar. Os vértices são
,
e
. Isso forma um triângulo no plano
. É útil desenhar esse triângulo para visualizar os limites de integração.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração. Observamos que
varia de 1 a 3. Para cada valor de
entre 1 e 3,
varia de uma linha que desce de
até
. A linha que conecta
a
é vertical em
, então precisamos encontrar a equação da linha que conecta
a
.
Passo 4
A equação da linha que conecta
a
pode ser encontrada pela fórmula da reta:
Onde
é a inclinação:
Então a equação fica:
Portanto, para cada
entre 1 e 3,
varia de 1 até
.
Passo 5
Agora, podemos configurar a integral dupla. A integral será:
Vamos integrar primeiro em relação a
.
Passo 6
Vamos integrar
em relação a
. Para isso, fazemos uma substituição simples:
A integral fica:
Aplicando os limites de
de 1 a
:
Simplificando:
Podemos simplificar ainda mais:
Mas como estamos dentro do logaritmo, podemos ignorar a constante negativa:
Passo 7
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
de 1 a 3:
Esse integral é um pouco mais complicado e pode ser resolvido por métodos numéricos ou técnicas avançadas de integração, mas para simplificar, vamos calcular numericamente.
Passo 8
Usando métodos numéricos ou uma calculadora, podemos aproximar o valor dessa integral. Após os cálculos, obtemos:
Resposta
O valor aproximado da integral é
.
Exercícios relacionados
Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
Calcule a área da região do plano delimitada pelas parábolas
e
, usando a mudança de variável
e
.
Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
Calcule
em cada um dos seguintes casos:
, D é a região delimitada por
e
.