Calcule integral duplaD f(x, y) d A em cada um dos seguintes casos: f(x, y)=1x+5 y, D é o triângulo de vértices (1,3),(3,3) e (3,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é um triângulo com vértices nos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões planas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a região onde vamos integrar. Os vértices são , e . Isso forma um triângulo no plano . É útil desenhar esse triângulo para visualizar os limites de integração.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração. Observamos que varia de 1 a 3. Para cada valor de entre 1 e 3, varia de uma linha que desce de até . A linha que conecta a é vertical em , então precisamos encontrar a equação da linha que conecta a .

Passo 4

A equação da linha que conecta y - y1 = m(x - x1) a m = 1 - 33 - 1 = -22 = -1 pode ser encontrada pela fórmula da reta:
y - 3 = -1(x - 1) Rightarrow y = -x + 4
Onde é a inclinação:
Então a equação fica:
Portanto, para cada entre 1 e 3, varia de 1 até .

Passo 5

Agora, podemos configurar a integral dupla. A integral será:
integral duplaD 1x + 5y , dA = integralx=1^3 integraly=1^-x + 4 1x + 5y , dy , dx
Vamos integrar primeiro em relação a .

Passo 6

Vamos integrar u = x + 5y Rightarrow du = 5 dy Rightarrow dy = du5 em relação a integral 1u cdot du5 = 15 ln|u| + C = 15 ln(x + 5y) + C . Para isso, fazemos uma substituição simples:
15 [ ln(x + 5(-x + 4)) - ln(x + 5 cdot 1) ] = 15 [ ln(x -5x +20) - ln(x +5) ]
A integral fica:
15 [ ln(-4x +20) - ln(x +5) ] = 15 ln(-4x +20x +5)
Aplicando os limites de -4x + 20 = -4(x -5) Rightarrow -4(x -5)x +5 de 1 a 15 ln(4(5 -x)x +5) :
Simplificando:
Podemos simplificar ainda mais:
Mas como estamos dentro do logaritmo, podemos ignorar a constante negativa:

Passo 7

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral1^3 15 ln(4(5 -x)x +5) dx de 1 a 3:
Esse integral é um pouco mais complicado e pode ser resolvido por métodos numéricos ou técnicas avançadas de integração, mas para simplificar, vamos calcular numericamente.

Passo 8

Usando métodos numéricos ou uma calculadora, podemos aproximar o valor dessa integral. Após os cálculos, obtemos:

Resposta

O valor aproximado da integral é .

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