Calcule a área da região do plano limitada pela cardioide .
Sugestão: use que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região do plano delimitada pela cardioide dada por para . Para isso, vamos utilizar o conteúdo de cálculo em coordenadas polares, especificamente a fórmula para a área de uma curva polar. Vamos também usar a identidade trigonométrica sugerida: .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área de uma curva em coordenadas polares :
Aqui, e são os limites de . No nosso caso, e .
Passo 3
Vamos substituir na fórmula da área pela equação da cardioide:
Primeiro, vamos expandir o quadrado:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar termo a termo:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 5
A primeira integral é simples:
A segunda integral, envolvendo , é:
Passo 6
A terceira integral envolve . Para resolver, vamos usar a identidade trigonométrica sugerida:
Então,
Passo 7
Vamos integrar essa expressão:
Passo 8
Agora, vamos juntar todas as partes:
Resposta
A área da região delimitada pela cardioide é unidades de área.