Calcule a área da região do plano limitada pela cardioide r = 2(1 + cos(θ)), 0 <= θ <= 2 pi.
Sugestão: use que cos^2(theta) = 1/2 (1 + cos(2 theta)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região do plano delimitada pela cardioide dada por para . Para isso, vamos utilizar o conteúdo de cálculo em coordenadas polares, especificamente a fórmula para a área de uma curva polar. Vamos também usar a identidade trigonométrica sugerida: .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área de uma curva em coordenadas polares :
Aqui, e são os limites de . No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos substituir na fórmula da área pela equação da cardioide:
Primeiro, vamos expandir o quadrado:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 5

A primeira integral é simples:
A segunda integral, envolvendo , é:

Passo 6

A terceira integral envolve . Para resolver, vamos usar a identidade trigonométrica sugerida:
Então,

Passo 7

Vamos integrar essa expressão:

Passo 8

Agora, vamos juntar todas as partes:

Resposta

A área da região delimitada pela cardioide é unidades de área.

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