Calcule as seguintes integrais iteradas:
.
Passo 1
Beleza, temos um exercício de cálculo que pede para calcular uma integral dupla:
. Vamos precisar usar conhecimentos de integrais iteradas e entender como integrar funções de duas variáveis. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte mais interna da integral, que é
. Aqui, tratamos
como uma constante porque estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração, que a gente pode ignorar porque vamos calcular um intervalo definido.
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Simplificando cada parte:
Passo 5
Agora que resolvemos a integral interna, vamos substituir de volta na integral externa:
Agora, precisamos integrar
em relação a
.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Mais uma vez,
é a constante de integração que podemos ignorar.
Passo 7
Aplicamos os limites de integração de
a
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Calcule a área da região do plano limitada pela cardioide
.
Sugestão: use que .
Sugestão: use que
Substitua as equações polares a seguir por equações cartesianas equivalentes e esboce as curvas correspondentes.
Use coordenadas polares para expressar
, onde
é a região do segundo quadrante compreendida entre os círculos
e
, como integrais iteradas. Resolva a integral iterada.
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
.