Calcule as seguintes integrais iteradas: .

Passo 1

Beleza, temos um exercício de cálculo que pede para calcular uma integral dupla: . Vamos precisar usar conhecimentos de integrais iteradas e entender como integrar funções de duas variáveis. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte mais interna da integral, que é . Aqui, tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos integrar em relação a :
Onde é a constante de integração, que a gente pode ignorar porque vamos calcular um intervalo definido.

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Simplificando cada parte:

Passo 5

Agora que resolvemos a integral interna, vamos substituir de volta na integral externa:
Agora, precisamos integrar em relação a .

Passo 6

Integrando em relação a :
Mais uma vez, é a constante de integração que podemos ignorar.

Passo 7

Aplicamos os limites de integração de a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Calcule a área da região do plano limitada pela cardioide .
Sugestão: use que .
Substitua as equações polares a seguir por equações cartesianas equivalentes e esboce as curvas correspondentes.
Use coordenadas polares para expressar , onde é a região do segundo quadrante compreendida entre os círculos e , como integrais iteradas. Resolva a integral iterada.
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. .