Calcule as seguintes integrais iteradas: integral0^1 integral2 x^2(x-y) d y d x.

Passo 1

Beleza, temos um exercício de cálculo que pede para calcular uma integral dupla: . Vamos precisar usar conhecimentos de integrais iteradas e entender como integrar funções de duas variáveis. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte mais interna da integral, que é . Aqui, tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos integrar integral (x - y) , dy = x cdot y - y^22 + C em relação a :
Onde é a constante de integração, que a gente pode ignorar porque vamos calcular um intervalo definido.

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de [ x cdot y - y^22 ]2x^2 = ( x cdot 2 - 2^22 ) - ( x cdot 2x - (2x)^22 ) a = (2x - 2) - (2x^2 - 2x^2) = 2x - 2 :
Simplificando cada parte:

Passo 5

Agora que resolvemos a integral interna, vamos substituir de volta na integral externa:
integral0^1 (2x - 2) , dx
Agora, precisamos integrar em relação a .

Passo 6

Integrando integral (2x - 2) , dx = x^2 - 2x + C em relação a :
Mais uma vez, é a constante de integração que podemos ignorar.

Passo 7

Aplicamos os limites de integração de [ x^2 - 2x ]0^1 = (1^2 - 2 cdot 1) - (0^2 - 2 cdot 0) = (1 - 2) - (0 - 0) = -1 a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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