Use coordenadas polares para expressar , onde é a região do segundo quadrante compreendida entre os círculos e , como integrais iteradas. Resolva a integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla , onde é a região do segundo quadrante que está entre dois círculos: e . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando trabalhamos com círculos e simetrias radiais. A gente vai converter a integral para coordenadas polares, estabelecer os limites de integração apropriados e então calcular a integral iterada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações dos círculos no enunciado. A equação representa um círculo com raio centrado na origem. Já a equação pode ser rearranjada para termos uma forma mais familiar. Vamos fazer isso:
Completa o quadrado em :
Então, essa segunda equação representa um círculo com raio centrado em .
Passo 3
Agora, como estamos no segundo quadrante, sabemos que é negativo e é positivo. Vamos converter essas equações para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Então, a primeira equação em coordenadas polares fica:
A segunda equação em coordenadas polares:
Como é uma distância, consideramos somente valores positivos. Portanto, temos:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para e no segundo quadrante. No segundo quadrante, o ângulo varia de a .
Para o raio , ele varia entre o círculo menor e o círculo maior. Assim:
varia de a
Então, nossos limites de integração são:
Passo 5
Agora, vamos expressar a integral dupla em coordenadas polares. Lembrando que, em coordenadas polares, o elemento de área é dado por . Além disso, a função em coordenadas polares é .
Portanto, a integral torna-se:
Simplificando:
Passo 6
Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a :
Como é constante em relação a , podemos tirar para fora:
Calculando:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a :
Vamos expandir o integrando:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeira integral:
Então:
Segunda integral:
Para resolver essa integral, usamos uma identidade reduzida da potência de cosseno:
Então:
Avaliado de a :
Passo 9
Agora, substituímos os valores encontrados de volta na expressão original: