Use coordenadas polares para expressar integral duplaD x d A, onde D é a região do segundo quadrante compreendida entre os círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=-2 x, como integrais iteradas. Resolva a integral iterada.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaD x , dA, onde D é a região do segundo quadrante que está entre dois círculos: x^2 + y^2 = 4 e x^2 + y^2 = -2x. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando trabalhamos com círculos e simetrias radiais. A gente vai converter a integral para coordenadas polares, estabelecer os limites de integração apropriados e então calcular a integral iterada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações dos círculos no enunciado. A equação x^2 + y^2 = 4 representa um círculo com raio 2 centrado na origem. Já a equação x^2 + y^2 = -2x pode ser rearranjada para termos uma forma mais familiar. Vamos fazer isso:
x^2 + y^2 + 2x = 0
Completa o quadrado em x:
(x + 1)^2 + y^2 = 1
Então, essa segunda equação representa um círculo com raio 1 centrado em (-1, 0).

Passo 3

Agora, como estamos no segundo quadrante, sabemos que x é negativo e y é positivo. Vamos converter essas equações para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
x = r costheta
y = r sintheta
x^2 + y^2 = r^2
Então, a primeira equação em coordenadas polares fica:
r^2 = 4
Rightarrow r = 2
A segunda equação em coordenadas polares:
r^2 = -2x = -2r costheta
Rightarrow r = -2 costheta
Como r é uma distância, consideramos somente valores positivos. Portanto, temos:
r = 2 costheta

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para r e theta no segundo quadrante. No segundo quadrante, o ângulo theta varia de pi2 a pi.
Para o raio r, ele varia entre o círculo menor e o círculo maior. Assim:
r varia de 2 costheta a 2
Então, nossos limites de integração são:
pi2 <= theta <= pi
2 costheta <= r <= 2

Passo 5

Agora, vamos expressar a integral dupla em coordenadas polares. Lembrando que, em coordenadas polares, o elemento de área dA é dado por r , dr , dtheta. Além disso, a função x em coordenadas polares é r costheta.
Portanto, a integral torna-se:
integral duplaD x , dA = integralpi2^pi integral2 costheta^2 (r costheta) cdot r , dr , dtheta
Simplificando:
integral duplaD x , dA = integralpi2^pi integral2 costheta^2 r^2 costheta , dr , dtheta

Passo 6

Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a r:
integral2 costheta^2 r^2 costheta , dr
Como costheta é constante em relação a r, podemos tirar para fora:
costheta integral2 costheta^2 r^2 , dr = costheta [ r^33 ]2 costheta^2
Calculando:
costheta ( 2^33 - (2 costheta)^33 ) = costheta ( 83 - 8 cos^3theta3 ) = 8 costheta3 (1 - cos^3theta)

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a theta:
integralpi2^pi 8 costheta3 (1 - cos^3theta) , dtheta = 83 integralpi2^pi costheta (1 - cos^3theta) , dtheta
Vamos expandir o integrando:
costheta - cos^4theta
Então, a integral fica:
83 ( integralpi2^pi costheta , dtheta - integralpi2^pi cos^4theta , dtheta )

Passo 8

Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeira integral:
integral costheta , dtheta = sintheta
Então:
sintheta |pi2^pi = sinpi - sinpi2 = 0 - 1 = -1
Segunda integral:
integral cos^4theta , dtheta
Para resolver essa integral, usamos uma identidade reduzida da potência de cosseno:
cos^4theta = 3 + 4 cos2theta + cos4theta8
Então:
integral cos^4theta , dtheta = integral 3 + 4 cos2theta + cos4theta8 , dtheta = 38 theta + 28 sin2theta + 132 sin4theta + C
Avaliado de pi2 a pi:
38 (pi - pi2) + 28 (sin2pi - sinpi) + 132 (sin4pi - sin2pi) = 38 cdot pi2 + 0 + 0 = 3pi16

Passo 9

Agora, substituímos os valores encontrados de volta na expressão original:
83 ( -1 - 3pi16 ) = 83 ( -1 - 3pi16 ) = 83 cdot ( -1616 - 3pi16 ) = 83 cdot ( -16 + 3pi16 ) = -83 cdot 16 + 3pi16 = -8(16 + 3pi)48 = -16 + 3pi6

Resposta

A integral dupla integral duplaD x , dA vale -dfrac16 + 3pi6.

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