Calcule a área da região do plano limitada por um laço da rosácea de quatro pétalas .
Sugestão: use que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A parada aqui é calcular a área da região limitada por um laço de uma rosácea de quatro pétalas, dada pela equação polar , no intervalo de a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo em coordenadas polares e uma dica sobre a identidade trigonométrica de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação . Essa é uma equação polar que descreve uma rosácea com quatro pétalas. O número de pétalas é determinado pelo coeficiente de dentro da função cosseno. Como é , temos pétalas.
Passo 3
Para encontrar a área de uma região em coordenadas polares, usamos a fórmula:
Aqui, e os limites de integração são de a , que correspondem a uma pétala da rosácea.
Passo 4
Vamos substituir na fórmula da área:
Agora, para facilitar a integração, usamos a identidade trigonométrica sugerida:
Mas atenção! Nosso argumento é , então a identidade fica:
Passo 5
Substituímos a identidade na expressão da área:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Pois e .
Passo 7
Então, a área fica:
Á
Resposta
A área da região limitada pelo laço da rosácea de quatro pétalas é unidades de área.