Calcule a área da região do plano limitada por um laço da rosácea de quatro pétalas .
Sugestão: use que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A parada aqui é calcular a área da região limitada por um laço de uma rosácea de quatro pétalas, dada pela equação polar , no intervalo de a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo em coordenadas polares e uma dica sobre a identidade trigonométrica de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação . Essa é uma equação polar que descreve uma rosácea com quatro pétalas. O número de pétalas é determinado pelo coeficiente de dentro da função cosseno. Como é , temos pétalas.

Passo 3

Para encontrar a área de uma região em coordenadas polares, usamos a fórmula:
Á
Aqui, e os limites de integração são de a , que correspondem a uma pétala da rosácea.

Passo 4

Vamos substituir na fórmula da área:
Á
Agora, para facilitar a integração, usamos a identidade trigonométrica sugerida:
Mas atenção! Nosso argumento é , então a identidade fica:

Passo 5

Substituímos a identidade na expressão da área:
Á

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Pois e .

Passo 7

Então, a área fica:
Á

Resposta

A área da região limitada pelo laço da rosácea de quatro pétalas é unidades de área.

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