Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas: e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área delimitada por três curvas: (que é o eixo X), e . Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, para encontrar a área entre essas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas. Isso nos ajudará a determinar os limites de integração. Vamos resolver o sistema de equações formado por , e .
Passo 3
Vamos começar encontrando onde intersecta as outras curvas:
Com : substituindo , temos . Então, um ponto de interseção é .
Com : substituindo , temos , ou seja, . Então, outro ponto de interseção é .
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde as curvas e se encontram. Para isso, podemos resolver essas duas equações simultaneamente. Vamos expressar da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Rearranjando:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos dois valores de . Vamos calcular isso.
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando:
Então:
Como representa uma coordenada no plano que está sendo considerada para esses gráficos, vamos considerar como o ponto de interseção relevante.
Agora, substituindo na equação :
Então, o ponto de interseção é .
Passo 6
Agora sabemos que a área a ser calculada está limitada entre e , mas as curvas se interceptam em . Vamos configurar a integral em duas partes:
De a , a curva superior é e a inferior é .
De a , a curva superior é e a inferior é .
Vamos calcular a integral em cada intervalo e somar os resultados para obter a área total.
Passo 7
Calculando a primeira integral:
Calculando a segunda integral:
Somando as duas áreas:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.