Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas:
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área delimitada por três curvas: (que é o eixo X), e . Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, para encontrar a área entre essas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas. Isso nos ajudará a determinar os limites de integração. Vamos resolver o sistema de equações formado por , e .

Passo 3

Vamos começar encontrando onde intersecta as outras curvas:
  • Com : substituindo , temos . Então, um ponto de interseção é .
  • Com : substituindo , temos , ou seja, . Então, outro ponto de interseção é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde as curvas e se encontram. Para isso, podemos resolver essas duas equações simultaneamente. Vamos expressar da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Rearranjando:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos dois valores de . Vamos calcular isso.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando:
Então:
Como representa uma coordenada no plano que está sendo considerada para esses gráficos, vamos considerar como o ponto de interseção relevante.
Agora, substituindo na equação :
Então, o ponto de interseção é .

Passo 6

Agora sabemos que a área a ser calculada está limitada entre e , mas as curvas se interceptam em . Vamos configurar a integral em duas partes:
  1. De a , a curva superior é e a inferior é .
  2. De a , a curva superior é e a inferior é .
Vamos calcular a integral em cada intervalo e somar os resultados para obter a área total.

Passo 7

Calculando a primeira integral:
Calculando a segunda integral:
Somando as duas áreas:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

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Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas:
e
Considere a equação diferencial autônoma . Sem resolver a equação, esboce em um plano cartesiano os gráficos que descrevam todas as possíveis soluções (todos os tipos de curvas integrais).
Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.
Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.