Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. Primeiro, vamos entender o que o enunciado nos dá:
Queremos calcular a integral dupla:
Conteúdo da Matéria: Integrais duplas e mudança para coordenadas polares.
O que vamos precisar:
- Saber converter coordenadas cartesianas para polares.
- Entender como ajustar os limites de integração na nova coordenada.
- Manipular expressões em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração para facilitar a mudança para coordenadas polares.
A integral está definida para
de 0 a 2 e, para cada
,
vai de 0 a
.
A equação
representa um semicírculo com raio 1 e centro em
.
Então, a região de integração é a área acima do eixo
e dentro desse semicírculo.
Passo 3
Agora, vamos converter as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
:
E o elemento de área
se transforma em
em coordenadas polares.
Passo 4
Precisamos reescrever a função dentro da integral em termos de
e
:
Passo 5
Agora, vamos identificar os novos limites de integração em coordenadas polares.
A região é um semicírculo de raio 1 deslocado para
.
Para simplificar, podemos mudar a origem para o centro do semicírculo, mas para mantermos a consistência, vamos determinar os limites diretamente.
Observando que
varia de 0 a 2, e
de 0 a
, em polar:
-
varia de 0 a 2 (a distância máxima do ponto (0,0) ao (2,0)). -
varia de 0 a (já que estamos na parte superior do plano, ).
Passo 6
Agora, reescrevemos a integral em coordenadas polares com os limites ajustados:
Note que
, pois os
se cancelam.
Passo 7
Simplificando a integral:
Agora, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Calculando os limites:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
O valor da integral é 4.