Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. Primeiro, vamos entender o que o enunciado nos dá:
Queremos calcular a integral dupla:
Conteúdo da Matéria: Integrais duplas e mudança para coordenadas polares.
O que vamos precisar:
  • Saber converter coordenadas cartesianas para polares.
  • Entender como ajustar os limites de integração na nova coordenada.
  • Manipular expressões em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração para facilitar a mudança para coordenadas polares.
A integral está definida para de 0 a 2 e, para cada , vai de 0 a .
A equação representa um semicírculo com raio 1 e centro em .
Então, a região de integração é a área acima do eixo e dentro desse semicírculo.

Passo 3

Agora, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares :
E o elemento de área se transforma em em coordenadas polares.

Passo 4

Precisamos reescrever a função dentro da integral em termos de e :

Passo 5

Agora, vamos identificar os novos limites de integração em coordenadas polares.
A região é um semicírculo de raio 1 deslocado para .
Para simplificar, podemos mudar a origem para o centro do semicírculo, mas para mantermos a consistência, vamos determinar os limites diretamente.
Observando que varia de 0 a 2, e de 0 a , em polar:
  • varia de 0 a 2 (a distância máxima do ponto (0,0) ao (2,0)).
  • varia de 0 a (já que estamos na parte superior do plano, ).

Passo 6

Agora, reescrevemos a integral em coordenadas polares com os limites ajustados:
Note que , pois os se cancelam.

Passo 7

Simplificando a integral:
Agora, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, integramos em relação a :
Calculando os limites:
Para :
Para :
Então:

Resposta

O valor da integral é 4.

Exercícios relacionados

Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.
Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas:
e
Considere um corpo com massa em queda vertical sujeito à força da gravidade, , e à força de resistência do ar que é proporcional à velocidade instantânea do corpo e tem sentido oposto ao do movimento. Por causa dessa força, a velocidade do corpo não cresce ilimitadamente, mas tende a uma velocidade limite (ou velocidade terminal). Determine uma equação diferencial para a velocidade do corpo, , em função do tempo. Sem resolver esta equação, esboce os gráficos que descrevam todas as possíveis soluçōes (todos os tipos de curvas integrais). Use a análise desses gráficos para determinar a velocidade terminal desse corpo.
Considere um corpo com massa em queda vertical sujeito à força da gravidade, , e à força de resistência do ar que é proporcional à velocidade instantânea do corpo e tem sentido oposto ao do movimento. Por causa dessa força, a velocidade do corpo não cresce ilimitadamente, mas tende a uma velocidade limite (ou velocidade terminal). Considerando-se que o corpo inicia a queda a partir do repouso (velocidade inicial nula) e que cinco segundos depois tem uma velocidade de queda de . Determine em qual instante ele atinge a velocidade de , se atingir, e qual sua velocidade terminal.
Obs.: Este item requer a resolucão de um PVI. Caso você nảo tenha feito o item (a) ou não saiba montar a equação diferencial para a velocidade, use .