Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.
integral0^2 integral0^raiz1-(x-1)^2 x+yx^2+y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. Primeiro, vamos entender o que o enunciado nos dá:
Queremos calcular a integral dupla:
integral0^2 integral0^raiz1-(x-1)^2 x+yx^2+y^2 , dy , dx
Conteúdo da Matéria: Integrais duplas e mudança para coordenadas polares.
O que vamos precisar:
  • Saber converter coordenadas cartesianas para polares.
  • Entender como ajustar os limites de integração na nova coordenada.
  • Manipular expressões em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração para facilitar a mudança para coordenadas polares.
A integral está definida para de 0 a 2 e, para cada , vai de 0 a .
A equação representa um semicírculo com raio 1 e centro em .
Então, a região de integração é a área acima do eixo e dentro desse semicírculo.

Passo 3

Agora, vamos converter as coordenadas cartesianas x = r cos theta y = r sin theta para coordenadas polares :
E o elemento de área se transforma em em coordenadas polares.

Passo 4

Precisamos reescrever a função dentro da integral em termos de x + yx^2 + y^2 = r cos theta + r sin thetar^2 = cos theta + sin theta r e :

Passo 5

Agora, vamos identificar os novos limites de integração em coordenadas polares.
A região é um semicírculo de raio 1 deslocado para .
Para simplificar, podemos mudar a origem para o centro do semicírculo, mas para mantermos a consistência, vamos determinar os limites diretamente.
Observando que varia de 0 a 2, e de 0 a , em polar:
  • varia de 0 a 2 (a distância máxima do ponto (0,0) ao (2,0)).
  • varia de 0 a (já que estamos na parte superior do plano, ).

Passo 6

Agora, reescrevemos a integral em coordenadas polares com os limites ajustados:
integral0^pi integral0^2 cos theta + sin theta r cdot r , dr , dtheta
Note que , pois os se cancelam.

Passo 7

Simplificando a integral:
integral0^pi integral0^2 ( cos theta + sin theta ) , dr , dtheta
Agora, integramos em relação a integral0^pi [ (cos theta + sin theta ) cdot r ]0^2 , dtheta = integral0^pi 2 ( cos theta + sin theta ) , dtheta :

Passo 8

Agora, integramos em relação a 2 integral0^pi ( cos theta + sin theta ) , dtheta = 2 [ sin theta - cos theta ]0^pi :
sin pi - cos pi = 0 - (-1) = 1
Calculando os limites:
Para sin 0 - cos 0 = 0 - 1 = -1 :
2 ( 1 - (-1) ) = 2 times 2 = 4
Para :
Então:

Resposta

O valor da integral é 4.

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