Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região no plano que está limitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada curva representa.
- Curva 1:
é uma parábola que abre para a direita. - Curva 2:
é uma função racional que tem um formato de “campainha”, pois para grandes valores de , se aproxima de zero.
Passo 3
Nossa próxima tarefa é encontrar os pontos onde essas duas curvas se interceptam, ou seja, resolver
.
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
onde as curvas se encontram.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica.
Passo 5
Testando possíveis valores para
, vemos que
satisfaz a equação:
Então,
é uma raiz. Agora, podemos fatorar o polinômio:
As outras raízes são complexas, então a única interseção real ocorre em
.
Passo 6
Agora que sabemos que as curvas se intersectam em
, precisamos determinar qual delas está acima da outra nesse intervalo para configurar a integral corretamente.
Vamos avaliar um ponto entre
e
, por exemplo,
:
- Para
, quando , . - Para
.
Assim,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 7
Com isso, a área
entre as curvas de
a
é dada pela integral da função de cima menos a de baixo:
Passo 8
Vamos calcular essa integral separadamente:
-
Integral de
: A integral deé . Então: -
Integral de
: é , cuja integral é :
Passo 9
Agora, aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Passo 10
Calculando cada parte:
Substituindo:
Resposta
Portanto, a área da região limitada pelas curvas é:
Exercícios relacionados
Considere a equação diferencial autônoma
. Sem resolver a equação, esboce em um plano cartesiano os gráficos que descrevam todas as possíveis soluções (todos os tipos de curvas integrais).
Verifique que a função
é uma solução das equaçōes diferenciais
e
Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas:
e
Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.