Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas:
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região no plano que está limitada pelas curvas e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada curva representa.
  • Curva 1: é uma parábola que abre para a direita.
  • Curva 2: é uma função racional que tem um formato de “campainha”, pois para grandes valores de , se aproxima de zero.

Passo 3

Nossa próxima tarefa é encontrar os pontos onde essas duas curvas se interceptam, ou seja, resolver .
Substituindo da primeira equação na segunda:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de onde as curvas se encontram.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica.

Passo 5

Testando possíveis valores para , vemos que satisfaz a equação:
Então, é uma raiz. Agora, podemos fatorar o polinômio:
As outras raízes são complexas, então a única interseção real ocorre em .

Passo 6

Agora que sabemos que as curvas se intersectam em , precisamos determinar qual delas está acima da outra nesse intervalo para configurar a integral corretamente.
Vamos avaliar um ponto entre e , por exemplo, :
  • Para , quando , .
  • Para .
Assim, está acima de nesse intervalo.

Passo 7

Com isso, a área entre as curvas de a é dada pela integral da função de cima menos a de baixo:

Passo 8

Vamos calcular essa integral separadamente:
  1. Integral de :
    A integral de é . Então:
  2. Integral de :
    é , cuja integral é :

Passo 9

Agora, aplicando os limites de integração de 0 a 1:

Passo 10

Calculando cada parte:
Substituindo:

Resposta

Portanto, a área da região limitada pelas curvas é:
á

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Considere a equação diferencial autônoma . Sem resolver a equação, esboce em um plano cartesiano os gráficos que descrevam todas as possíveis soluções (todos os tipos de curvas integrais).
Verifique que a função é uma solução das equaçōes diferenciais
e
Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas:
e
Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.