Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla para resolver usando coordenadas polares. A integral é:
Isso envolve cálculo de integrais duplas, e para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares. Vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para polares e saber calcular limites de integração nessa nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é coordenadas polares. Em coordenadas cartesianas, usamos (x, y), mas em polares, usamos (r, θ), onde é a distância até a origem e é o ângulo com o eixo positivo x.
A relação entre elas é:
E a área diferencial se transforma em .

Passo 3

Agora, vamos achar os limites de integração em coordenadas polares. Observamos os limites de de 0 a 3 e de de a .
Vamos desenhar isso no plano xy. A curva representa um semicírculo de raio . A região vai de a , e para cada , vai de até o semicírculo.
Em polares, isso corresponde a de 0 até e de 0 até (já que corresponde a ).

Passo 4

Vamos reescrever a integral em coordenadas polares. Substituindo e , temos:
Então, a integral fica:
Aqui, multiplicamos por porque a área diferencial .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Integrando termo a termo:
Então:
Calculando :
Agora, a integral fica:

Resposta

A integral vale .

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Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas:
e
Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas:
e
Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.
Considere um corpo com massa em queda vertical sujeito à força da gravidade, , e à força de resistência do ar que é proporcional à velocidade instantânea do corpo e tem sentido oposto ao do movimento. Por causa dessa força, a velocidade do corpo não cresce ilimitadamente, mas tende a uma velocidade limite (ou velocidade terminal). Determine uma equação diferencial para a velocidade do corpo, , em função do tempo. Sem resolver esta equação, esboce os gráficos que descrevam todas as possíveis soluçōes (todos os tipos de curvas integrais). Use a análise desses gráficos para determinar a velocidade terminal desse corpo.