Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.
integral0^3 integralx^raiz18-x^2(x^2+y^2+1) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla para resolver usando coordenadas polares. A integral é:
integral0^3 integralx^raiz18-x^2(x^2+y^2+1) dy , dx
Isso envolve cálculo de integrais duplas, e para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares. Vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para polares e saber calcular limites de integração nessa nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é coordenadas polares. Em coordenadas cartesianas, usamos (x, y), mas em polares, usamos (r, θ), onde x = r cosθ y = r sinθ é a distância até a origem e é o ângulo com o eixo positivo x.
A relação entre elas é:
E a área diferencial se transforma em .

Passo 3

Agora, vamos achar os limites de integração em coordenadas polares. Observamos os limites de de 0 a 3 e de de a .
Vamos desenhar isso no plano xy. A curva representa um semicírculo de raio . A região vai de a , e para cada , vai de até o semicírculo.
Em polares, isso corresponde a de 0 até e de 0 até (já que corresponde a ).

Passo 4

Vamos reescrever a integral em coordenadas polares. Substituindo x^2 + y^2 = r^2 e integral0^pi4 integral0^raiz18 (r^2 + 1) cdot r , dr , dθ , temos:
Então, a integral fica:
Aqui, multiplicamos por porque a área diferencial .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^raiz18 (r^2 + 1) cdot r , dr = integral0^raiz18 (r^3 + r) dr :
integral r^3 dr = r^44 integral r , dr = r^22
Integrando termo a termo:
[ r^44 + r^22 ]0^raiz18 = (raiz18)^44 + (raiz18)^22
Então:
(3raiz2)^44 + (3raiz2)^22 = 81 cdot 44 + 182 = 81 + 9 = 90
Calculando integral0^pi4 90 , dθ = 90 cdot [ θ ]0^pi4 = 90 cdot pi4 = 90pi4 = 45pi2 :
Agora, a integral fica:

Resposta

A integral vale .

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