Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla para resolver usando coordenadas polares. A integral é:
Isso envolve cálculo de integrais duplas, e para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares. Vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para polares e saber calcular limites de integração nessa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é coordenadas polares. Em coordenadas cartesianas, usamos (x, y), mas em polares, usamos (r, θ), onde
é a distância até a origem e
é o ângulo com o eixo positivo x.
A relação entre elas é:
E a área diferencial
se transforma em
.
Passo 3
Agora, vamos achar os limites de integração em coordenadas polares. Observamos os limites de
de 0 a 3 e de
de
a
.
Vamos desenhar isso no plano xy. A curva
representa um semicírculo de raio
. A região vai de
a
, e para cada
,
vai de
até o semicírculo.
Em polares, isso corresponde a
de 0 até
e
de 0 até
(já que
corresponde a
).
Passo 4
Vamos reescrever a integral em coordenadas polares. Substituindo
e
, temos:
Então, a integral fica:
Aqui, multiplicamos por
porque a área diferencial
.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Integrando termo a termo:
Então:
Calculando
:
Agora, a integral fica:
Resposta
A integral vale
.
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Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas:
e
Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas:
e
Use coordenadas polares para calcular as integrais abaixo.
Considere um corpo com massa
em queda vertical sujeito à força da gravidade,
, e à força de resistência do ar que é proporcional à velocidade instantânea do corpo e tem sentido oposto ao do movimento. Por causa dessa força, a velocidade do corpo não cresce ilimitadamente, mas tende a uma velocidade limite (ou velocidade terminal). Determine uma equação diferencial para a velocidade do corpo,
, em função do tempo. Sem resolver esta equação, esboce os gráficos que descrevam todas as possíveis soluçōes (todos os tipos de curvas integrais). Use a análise desses gráficos para determinar a velocidade terminal desse corpo.