Considere a equação diferencial autônoma . Sem resolver a equação, esboce em um plano cartesiano os gráficos que descrevam todas as possíveis soluções (todos os tipos de curvas integrais).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial autônoma dada por . O objetivo é, sem resolver a equação, desenhar no plano cartesiano os gráficos que representam todas as possíveis soluções dessa equação, ou seja, todas as curvas integrais.

Passo 2

Como a equação é autônoma, isso significa que a taxa de variação de depende apenas de e não do tempo ou de outra variável independente. Isso facilita a análise porque podemos estudar o comportamento das soluções olhando apenas para a função .

Passo 3

Vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde . Isso acontece quando .

Passo 4

Resolvendo :
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 5

Agora, vamos analisar o sinal de em cada intervalo determinado por esses pontos críticos para entender o comportamento das soluções:
  • Para : Escolha . (negativo).
  • Para : Escolha . (positivo).
  • Para : Escolha . (negativo).
  • Para : Escolha . (positivo).

Passo 6

Com base nisso:
  • Onde , as soluções estão crescendo.
  • Onde , as soluções estão decrescendo.
  • Nos pontos críticos, as soluções são constantes.

Passo 7

Agora, vamos esboçar o gráfico:
  • Marque os pontos críticos , e no eixo .
  • Entre , as soluções decrescem.
  • Entre , as soluções crescem.
  • Entre , as soluções decrescem.
  • Para , as soluções crescem.

Passo 8

As curvas integrais serão horizontais nos pontos críticos e irão se aproximar ou afastar desses pontos conforme o sinal de . Por exemplo:
  • Soluções próximas a irão se mover em direção aos outros pontos críticos dependendo do lado.
  • Soluções próximas a e também terão comportamentos de aproxima��ão ou afastamento baseados no sinal de .

Resposta

O esboço no plano cartesiano mostra três linhas horizontais representando os pontos críticos , e . Entre e , as soluções crescem, enquanto entre e , as soluções decrescem. As curvas integrais se movem em direção aos pontos críticos estáveis e se afastam dos instáveis, formando um diagrama de fase característico para essa equação diferencial autônoma.

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Verifique que a função é uma solução das equaçōes diferenciais
e
Determine as derivadas parciais indicadas.
Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas:
e
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e