Considere a equação diferencial autônoma
. Sem resolver a equação, esboce em um plano cartesiano os gráficos que descrevam todas as possíveis soluções (todos os tipos de curvas integrais).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial autônoma dada por
. O objetivo é, sem resolver a equação, desenhar no plano cartesiano os gráficos que representam todas as possíveis soluções dessa equação, ou seja, todas as curvas integrais.
Passo 2
Como a equação é autônoma, isso significa que a taxa de variação de
depende apenas de
e não do tempo
ou de outra variável independente. Isso facilita a análise porque podemos estudar o comportamento das soluções olhando apenas para a função
.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde
. Isso acontece quando
.
Passo 4
Resolvendo
:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 5
Agora, vamos analisar o sinal de
em cada intervalo determinado por esses pontos críticos para entender o comportamento das soluções:
- Para
: Escolha . (negativo). - Para
: Escolha . (positivo). - Para
: Escolha . (negativo). - Para
: Escolha . (positivo).
Passo 6
Com base nisso:
- Onde
, as soluções estão crescendo. - Onde
, as soluções estão decrescendo. - Nos pontos críticos, as soluções são constantes.
Passo 7
Agora, vamos esboçar o gráfico:
- Marque os pontos críticos
, e no eixo . - Entre
, as soluções decrescem. - Entre
, as soluções crescem. - Entre
, as soluções decrescem. - Para
, as soluções crescem.
Passo 8
As curvas integrais serão horizontais nos pontos críticos e irão se aproximar ou afastar desses pontos conforme o sinal de
. Por exemplo:
- Soluções próximas a
irão se mover em direção aos outros pontos críticos dependendo do lado. - Soluções próximas a
e também terão comportamentos de aproxima��ão ou afastamento baseados no sinal de .
Resposta
O esboço no plano cartesiano mostra três linhas horizontais representando os pontos críticos
,
e
. Entre
e
, as soluções crescem, enquanto entre
e
, as soluções decrescem. As curvas integrais se movem em direção aos pontos críticos estáveis e se afastam dos instáveis, formando um diagrama de fase característico para essa equação diferencial autônoma.
Exercícios relacionados
Verifique que a função
é uma solução das equaçōes diferenciais
e
Determine as derivadas parciais indicadas.
Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas:
e
Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas:
e