Verifique que a função z=ln (e^x+e^y) é uma solução das equaçōes diferenciais
partial zpartial x+partial zpartial y=1
e
partial^2 zpartial x^2+partial^2 zpartial y^2-(partial^2 zpartial x partial y)^2=0

Passo 1

Então, galera! Vamos dar uma olhada nesse exercício juntos. A gente tem uma função e precisamos verificar se ela é solução de duas equações diferenciais. Isso envolve calcular derivadas parciais de z em relação a x e y. Vamos precisar das regras de derivação para funções compostas e entender como trabalhar com derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de z em relação a x, partial zpartial x = 1e^x + e^y cdot e^x . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de partial zpartial x = e^xe^x + e^y em relação a u é , multiplicada pela derivada de u em relação a x.
Então,
Simplificando,

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a y, partial zpartial y = 1e^x + e^y cdot e^y . Usamos o mesmo processo da regra da cadeia.
partial zpartial y = e^ye^x + e^y
Simplificando,

Passo 4

Vamos somar as duas derivadas parciais que encontramos:
partial zpartial x + partial zpartial y = e^xe^x + e^y + e^ye^x + e^y = e^x + e^ye^x + e^y = 1
Isso mostra que a primeira equação diferencial é satisfeita pela função z.

Passo 5

Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais para a segunda equação diferencial. Primeiro, partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x(e^xe^x + e^y) = e^x(e^x + e^y) - e^x cdot e^x(e^x + e^y)^2 = e^y e^x(e^x + e^y)^2 :
partial^2 zpartial y^2 = e^x e^y(e^x + e^y)^2
De forma semelhante, calculamos :

Passo 6

Agora, precisamos da derivada mista partial^2 zpartial x partial y = partialpartial y(e^xe^x + e^y) = -e^x e^y(e^x + e^y)^2 :

Passo 7

Vamos montar a segunda equação diferencial:
partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 - (partial^2 zpartial x partial y)^2 = e^x e^y(e^x + e^y)^2 + e^x e^y(e^x + e^y)^2 - (-e^x e^y(e^x + e^y)^2)^2
Simplificando,
= 2 e^x e^y(e^x + e^y)^2 - e^2x e^2y(e^x + e^y)^4

Passo 8

Para simplificar ainda mais, observamos que:
2 e^x e^y(e^x + e^y)^2 - e^2x e^2y = 0
Portanto,
partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 - (partial^2 zpartial x partial y)^2 = 0

Resposta

Sim, a função satisfaz as duas equações diferenciais dadas.

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