Verifique que a função
é uma solução das equaçōes diferenciais
e
Passo 1
Então, galera! Vamos dar uma olhada nesse exercício juntos. A gente tem uma função
e precisamos verificar se ela é solução de duas equações diferenciais. Isso envolve calcular derivadas parciais de z em relação a x e y. Vamos precisar das regras de derivação para funções compostas e entender como trabalhar com derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de z em relação a x,
. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a u é
, multiplicada pela derivada de u em relação a x.
Então,
Simplificando,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a y,
. Usamos o mesmo processo da regra da cadeia.
Simplificando,
Passo 4
Vamos somar as duas derivadas parciais que encontramos:
Isso mostra que a primeira equação diferencial é satisfeita pela função z.
Passo 5
Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais para a segunda equação diferencial. Primeiro,
:
De forma semelhante, calculamos
:
Passo 6
Agora, precisamos da derivada mista
:
Passo 7
Vamos montar a segunda equação diferencial:
Simplificando,
Passo 8
Para simplificar ainda mais, observamos que:
Portanto,
Resposta
Sim, a função
satisfaz as duas equações diferenciais dadas.
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Determine as derivadas parciais indicadas.
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Considere a equação diferencial autônoma
. Sem resolver a equação, esboce em um plano cartesiano os gráficos que descrevam todas as possíveis soluções (todos os tipos de curvas integrais).
Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas:
e