Verifique que a função é uma solução das equaçōes diferenciais
e

Passo 1

Então, galera! Vamos dar uma olhada nesse exercício juntos. A gente tem uma função e precisamos verificar se ela é solução de duas equações diferenciais. Isso envolve calcular derivadas parciais de z em relação a x e y. Vamos precisar das regras de derivação para funções compostas e entender como trabalhar com derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de z em relação a x, . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a u é , multiplicada pela derivada de u em relação a x.
Então,
Simplificando,

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a y, . Usamos o mesmo processo da regra da cadeia.
Simplificando,

Passo 4

Vamos somar as duas derivadas parciais que encontramos:
Isso mostra que a primeira equação diferencial é satisfeita pela função z.

Passo 5

Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais para a segunda equação diferencial. Primeiro, :
De forma semelhante, calculamos :

Passo 6

Agora, precisamos da derivada mista :

Passo 7

Vamos montar a segunda equação diferencial:
Simplificando,

Passo 8

Para simplificar ainda mais, observamos que:
Portanto,

Resposta

Sim, a função satisfaz as duas equações diferenciais dadas.

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Determine as derivadas parciais indicadas.
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e