Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas: e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região no plano que fica entre as curvas e . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo integral, que é a ferramenta que nos ajuda a encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar onde essas duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de :
Podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e .
Então, temos duas soluções:
Passo 4
Agora sabemos que as curvas se encontram nos pontos e . Vamos identificar qual das curvas está acima da outra nesse intervalo. Se escolhermos um valor de entre -1 e 2, por exemplo, :
Vemos que está acima de nesse intervalo.
Passo 5
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a integral definida da função de cima menos a função de baixo, no intervalo de -1 a 2:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral completa é:
Passo 8
Agora, vamos calcular esse valor para e :
Para :
Para :
Passo 9
Agora, subtraímos o resultado de do resultado de :
Resposta
A área da região limitada pelas curvas e é unidades de área.