Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas:
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região no plano que fica entre as curvas e . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo integral, que é a ferramenta que nos ajuda a encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar onde essas duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de :
Podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e .
Então, temos duas soluções:

Passo 4

Agora sabemos que as curvas se encontram nos pontos e . Vamos identificar qual das curvas está acima da outra nesse intervalo. Se escolhermos um valor de entre -1 e 2, por exemplo, :
Vemos que está acima de nesse intervalo.

Passo 5

Para encontrar a área entre as curvas, usamos a integral definida da função de cima menos a função de baixo, no intervalo de -1 a 2:
Á

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral completa é:

Passo 8

Agora, vamos calcular esse valor para e :
Para :
Para :

Passo 9

Agora, subtraímos o resultado de do resultado de :

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades de área.

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Calcule limitada por e .
Expresse como uma integral dupla e depois resolva tal integral, a medida do volume do sólido acima do plano , limitado pelo parabolóide elíptico e pelo cilindro .
Calcule.
Calcule.