Expresse como uma integral dupla e depois resolva tal integral, a medida do volume do sólido acima do plano x y, limitado pelo parabolóide elíptico z = x^2 + 4*y^2 e pelo cilindro x^2 + 4y^2 = 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume de um sólido que fica acima do plano xy, limitado por um parabolóide elíptico e um cilindro . Para isso, vamos usar integrais duplas, que são ótimas para encontrar volumes de regiões no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que estão limitando nosso sólido. O parabolóide elíptico é dado por , e o cilindro por . Esse cilindro é na verdade uma elipse no plano xy, já que as variáveis x e y estão relacionadas de forma elíptica.

Passo 3

Para encontrar o volume, vamos integrar a função que representa a altura do sólido ( ) sobre a região do plano xy limitada pelo cilindro . Isso significa que nosso primeiro passo é expressar isso como uma integral dupla.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. A equação do cilindro pode ser reescrita como:
Isso nos mostra que a região de integração é uma elipse com semi-eixos de comprimento 2 (em x) e 1 (em y). Portanto, x varia de -2 a 2, e para cada valor de x, y varia de a .

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla para calcular o volume V:
Aqui, representa a função altura que estamos integrando sobre a região definida pelo cilindro.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a y. Primeiro, separamos a integral:
Como a função é par em y, podemos simplificar calculando de 0 a e multiplicando por 2:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral externa:
Observando que a função é par em x, podemos integrar de 0 a 2 e multiplicar por 2 para simplificar:

Passo 8

Vamos resolver a integral termo a termo. Para o primeiro termo, fazemos uma substituição. Seja , então , ou . Substituindo, conseguimos integrar em termos de u.
Para o segundo termo, a integral se torna uma expressão em u que também pode ser integrada utilizando técnicas de integração por substituição.

Passo 9

Após resolver as integrais, somamos os resultados obtidos e multiplicamos pelo fator externo (no caso, 2) para obter o volume total.

Resposta

O volume do sólido limitado pelo parabolóide e pelo cilindro é:

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