Expresse como uma integral dupla e depois resolva tal integral, a medida do volume do sólido acima do plano , limitado pelo parabolóide elíptico e pelo cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume de um sólido que fica acima do plano , limitado por um parabolóide elíptico e um cilindro . Para isso, vamos usar integrais duplas, que são ótimas para encontrar volumes de regiões no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que estão limitando nosso sólido. O parabolóide elíptico é dado por , e o cilindro por . Esse cilindro é na verdade uma elipse no plano , já que as variáveis e estão relacionadas de forma elíptica.

Passo 3

Para encontrar o volume, vamos integrar a função que representa a altura do sólido ( ) sobre a região do plano limitada pelo cilindro . Isso significa que nosso primeiro passo é expressar isso como uma integral dupla.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. A equação do cilindro pode ser reescrita como:
Isso nos mostra que a região de integração é uma elipse com semi-eixos de comprimento 2 (em ) e 1 (em ). Portanto, varia de -2 a 2, e para cada valor de , varia de a .

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla para calcular o volume :
Aqui, representa a função altura que estamos integrando sobre a região definida pelo cilindro.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a . Primeiro, separamos a integral:
Como a função é par em , podemos simplificar calculando de 0 a e multiplicando por 2:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral externa:
Observando que a função é par em , podemos integrar de 0 a 2 e multiplicar por 2 para simplificar:

Passo 8

Vamos resolver a integral termo a termo. Para o primeiro termo, fazemos uma substituição. Seja , então , ou . Substituindo, conseguimos integrar em termos de .
Para o segundo termo, a integral se torna uma expressão em que também pode ser integrada utilizando técnicas de integração por substituição.

Passo 9

Após resolver as integrais, somamos os resultados obtidos e multiplicamos pelo fator externo (no caso, 2) para obter o volume total.

Resposta

O volume do sólido limitado pelo parabolóide e pelo cilindro é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo:
Considere um corpo com massa em queda vertical sujeito à força da gravidade, , e à força de resistência do ar que é proporcional à velocidade instantânea do corpo e tem sentido oposto ao do movimento. Por causa dessa força, a velocidade do corpo não cresce ilimitadamente, mas tende a uma velocidade limite (ou velocidade terminal). Considerando-se que o corpo inicia a queda a partir do repouso (velocidade inicial nula) e que cinco segundos depois tem uma velocidade de queda de . Determine em qual instante ele atinge a velocidade de , se atingir, e qual sua velocidade terminal.
Obs.: Este item requer a resolucão de um PVI. Caso você nảo tenha feito o item (a) ou não saiba montar a equação diferencial para a velocidade, use .
Calcule limitada por e .
Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas:
e