Expresse como uma integral dupla e depois resolva tal integral, a medida do volume do sólido acima do plano
, limitado pelo parabolóide elíptico
e pelo cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume de um sólido que fica acima do plano
, limitado por um parabolóide elíptico
e um cilindro
. Para isso, vamos usar integrais duplas, que são ótimas para encontrar volumes de regiões no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que estão limitando nosso sólido. O parabolóide elíptico é dado por
, e o cilindro por
. Esse cilindro é na verdade uma elipse no plano
, já que as variáveis
e
estão relacionadas de forma elíptica.
Passo 3
Para encontrar o volume, vamos integrar a função que representa a altura do sólido (
) sobre a região do plano
limitada pelo cilindro
. Isso significa que nosso primeiro passo é expressar isso como uma integral dupla.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. A equação do cilindro
pode ser reescrita como:
Isso nos mostra que a região de integração é uma elipse com semi-eixos de comprimento 2 (em
) e 1 (em
). Portanto,
varia de -2 a 2, e para cada valor de
,
varia de
a
.
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla para calcular o volume
:
Aqui,
representa a função altura que estamos integrando sobre a região definida pelo cilindro.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
. Primeiro, separamos a integral:
Como a função é par em
, podemos simplificar calculando de 0 a
e multiplicando por 2:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Observando que a função é par em
, podemos integrar de 0 a 2 e multiplicar por 2 para simplificar:
Passo 8
Vamos resolver a integral termo a termo. Para o primeiro termo, fazemos uma substituição. Seja
, então
, ou
. Substituindo, conseguimos integrar em termos de
.
Para o segundo termo, a integral se torna uma expressão em
que também pode ser integrada utilizando técnicas de integração por substituição.
Passo 9
Após resolver as integrais, somamos os resultados obtidos e multiplicamos pelo fator externo (no caso, 2) para obter o volume total.
Resposta
O volume do sólido limitado pelo parabolóide
e pelo cilindro
é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo:
Considere um corpo com massa
em queda vertical sujeito à força da gravidade,
, e à força de resistência do ar que é proporcional à velocidade instantânea do corpo e tem sentido oposto ao do movimento. Por causa dessa força, a velocidade do corpo não cresce ilimitadamente, mas tende a uma velocidade limite (ou velocidade terminal). Considerando-se que o corpo inicia a queda a partir do repouso (velocidade inicial nula) e que cinco segundos depois tem uma velocidade de queda de
. Determine em qual instante ele atinge a velocidade de
, se atingir, e qual sua velocidade terminal.
Obs.: Este item requer a resolucão de um PVI. Caso você nảo tenha feito o item (a) ou não saiba montar a equação diferencial para a velocidade, use .
Obs.: Este item requer a resolucão de um PVI. Caso você nảo tenha feito o item (a) ou não saiba montar a equação diferencial para a velocidade, use
Calcule
limitada por
e
.
Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas:
e