Calcule integral duplaR(1+2 x) d A, R limitada por x=y^2 e x-y=2.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente calcular a integral dupla integral duplaR(1+2x) , dA, onde a região R é limitada pelas curvas x = y^2 e x - y = 2. Vamos usar conceitos de cálculo integral para resolver isso, especificamente integrando em duas etapas: primeiro em x e depois em y.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas duas curvas se encontram para definir bem a região R. Igualando x = y^2 e x - y = 2, temos:
y^2 = y + 2
Isso é uma equação quadrática que podemos resolver para encontrar os valores de y onde as curvas se interceptam.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática:
y^2 - y - 2 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
y = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Portanto, os valores de y são y = 2 e y = -1.

Passo 4

Agora, encontramos os correspondentes valores de x substituindo y nas equações originais:
  • Para y = 2: x = (2)^2 = 4
  • Para y = -1: x = (-1)^2 = 1
Então, a região R está entre y = -1 e y = 2, com x variando de y^2 a y + 2.

Passo 5

Vamos montar a integral dupla com esses limites:
integraly=-1^2 integralx=y^2^y+2 (1 + 2x) , dx , dy
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a x.

Passo 6

Calculando a integral em x:
integralx=y^2^y+2 (1 + 2x) , dx = [ x + x^2 ]y^2^y+2
Substituindo os limites:
(y + 2) + (y + 2)^2 - ( y^2 + (y^2)^2 )

Passo 7

Simplificando a expressão:
y + 2 + y^2 + 4y + 4 - y^2 - y^4 = 5y + 6 - y^4
Agora, a integral fica:
integral-1^2 (5y + 6 - y^4) , dy

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
integral 5y , dy = 52 y^2 integral 6 , dy = 6y integral -y^4 , dy = -15 y^5
Então, a antiderivada completa é:
52 y^2 + 6y - 15 y^5 gr|-1^2

Resposta

Substituindo os limites na antiderivada:
Para y = 2:
52 (2)^2 + 6(2) - 15 (2)^5 = 10 + 12 - 325 = 22 - 6.4 = 15.6
Para y = -1:
52 (-1)^2 + 6(-1) - 15 (-1)^5 = 2.5 - 6 + 0.2 = -3.3
Agora, subtraímos os resultados:
15.6 - (-3.3) = 18.9
Portanto, o valor da integral dupla é 18.9.

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