Calcule limitada por e .

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente calcular a integral dupla , onde a região é limitada pelas curvas e . Vamos usar conceitos de cálculo integral para resolver isso, especificamente integrando em duas etapas: primeiro em e depois em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas duas curvas se encontram para definir bem a região . Igualando e , temos:
Isso é uma equação quadrática que podemos resolver para encontrar os valores de onde as curvas se interceptam.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os valores de são e .

Passo 4

Agora, encontramos os correspondentes valores de substituindo nas equações originais:
  • Para :
  • Para :
Então, a região está entre e , com variando de a .

Passo 5

Vamos montar a integral dupla com esses limites:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a .

Passo 6

Calculando a integral em :
Substituindo os limites:

Passo 7

Simplificando a expressão:
Agora, a integral fica:

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
Então, a antiderivada completa é:

Resposta

Substituindo os limites na antiderivada:
Para :
Para :
Agora, subtraímos os resultados:
Portanto, o valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Expresse como uma integral dupla e depois resolva tal integral, a medida do volume do sólido acima do plano , limitado pelo parabolóide elíptico e pelo cilindro .
Calcule as integrais abaixo:
Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas indicadas:
e
Calcule.