Use o Teorema de Green para calcular , onde , onde é a fronteira do quadrado de vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiramente, o enunciado pede para usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha da função vetorial ao longo da curva , que é a fronteira de um quadrado com vértices em , , e . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, o Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula geral é:
Aqui, , então precisamos identificar e na nossa função vetorial.

Passo 3

No nosso caso, temos:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green.

Passo 4

Calculando :
Calculando :

Passo 5

Subtraindo as derivadas:
Isso simplifica bastante nossa integral dupla!

Passo 6

Agora, nossa integral dupla fica:
Isso significa que precisamos calcular vezes a área da região delimitada por .

Passo 7

A curva é a fronteira de um quadrado com vértices em , , e . Esse quadrado é na verdade um losango (ou diamante) centrado na origem, com diagonais de comprimento unidades cada.
A área de um losango é dada por:
Á
onde e são as diagonais.

Passo 8

Aqui, as diagonais e têm comprimento unidades cada (de a e de a ).
Então:
Á

Passo 9

Voltando à nossa integral:
Á

Resposta

A integral vale 10.

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1
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