Use o Teorema de Green para calcular integralgamma F d gamma, onde F(x, y)=(4 x^3 y^3, 3 x^4 y^2+5 x), onde gamma é a fronteira do quadrado de vértices (1,0),(0,1),(-1,0) e (0,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiramente, o enunciado pede para usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha da função vetorial ao longo da curva , que é a fronteira de um quadrado com vértices em , , e . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, o Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada ointgamma P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA com uma integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula geral é:
Aqui, , então precisamos identificar e na nossa função vetorial.

Passo 3

No nosso caso, temos:
P(x, y) = 4x^3y^3 e Q(x, y) = 3x^4y^2 + 5x
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green.

Passo 4

Calculando partial Qpartial x = partialpartial x (3x^4y^2 + 5x) = 12x^3y^2 + 5 :
partial Ppartial y = partialpartial y (4x^3y^3) = 12x^3y^2
Calculando :

Passo 5

Subtraindo as derivadas:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = (12x^3y^2 + 5) - 12x^3y^2 = 5
Isso simplifica bastante nossa integral dupla!

Passo 6

Agora, nossa integral dupla fica:
integral duplaD 5 , dA
Isso significa que precisamos calcular vezes a área da região delimitada por .

Passo 7

A curva Área = D1 times D22 é a fronteira de um quadrado com vértices em , , e . Esse quadrado é na verdade um losango (ou diamante) centrado na origem, com diagonais de comprimento unidades cada.
A área de um losango é dada por:
Á
onde e são as diagonais.

Passo 8

Aqui, as diagonais Área = 2 times 22 = 2 e têm comprimento unidades cada (de a e de a ).
Então:
Á

Passo 9

Voltando à nossa integral:
integral duplaD 5 , dA = 5 times Área = 5 times 2 = 10 Á

Resposta

A integral vale 10.

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