Use o Teorema de Green para calcular
, onde
, onde
é a fronteira do quadrado de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiramente, o enunciado pede para usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha da função vetorial
ao longo da curva
, que é a fronteira de um quadrado com vértices em
,
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e aplicá-lo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, o Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
limitada por
. A fórmula geral é:
Aqui,
, então precisamos identificar
e
na nossa função vetorial.
Passo 3
No nosso caso, temos:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Subtraindo as derivadas:
Isso simplifica bastante nossa integral dupla!
Passo 6
Agora, nossa integral dupla fica:
Isso significa que precisamos calcular
vezes a área da região
delimitada por
.
Passo 7
A curva
é a fronteira de um quadrado com vértices em
,
,
e
. Esse quadrado é na verdade um losango (ou diamante) centrado na origem, com diagonais de comprimento
unidades cada.
A área de um losango é dada por:
onde
e
são as diagonais.
Passo 8
Aqui, as diagonais
e
têm comprimento
unidades cada (de
a
e de
a
).
Então:
Passo 9
Voltando à nossa integral:
Resposta
A integral
vale 10.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado pelo campo de forças
sobre uma partícula que percorre uma vez, no sentido antihorário, a curva fechada dada pelas equações
e
.
Questāo 4 (7 pts) : Determine os intervalos no qual a funçāo
é crescente e/ou decrescente.
1
1
Demonstre que se
é uma região no plano limitada por uma curva
simples, fechada e suave por partes, então a área de
, denotada por
, pode ser dada por
em que a curva está orientada no sentido positivo.
Calcule a área da região
delimitada pela cardioide
, em que
e
.