Calcule a área da região simultaneamente interior às curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a área da região que está dentro das duas curvas dadas pelas equações
e
. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e integral definida para achar áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Sabemos que
, então:
Agora, vamos resolver essa equação. Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas soluções:
Mas como estamos trabalhando com
no intervalo de
a
(já que para
fora desse intervalo as curvas se repetem), as soluções relevantes são
e
.
Passo 3
Agora que temos os pontos de interseção, vamos visualizar quais áreas estão dentro de ambas as curvas. Observando os gráficos:
- Para
, está dentro de . - Para
, está dentro de .
Então, precisamos calcular a área onde as duas regiões se sobrepõem, que é de
a
.
Passo 4
Para calcular a área em coordenadas polares, usamos a fórmula:
Aqui,
vai ser a menor das duas funções dentro do intervalo de integração. No nosso caso, de
a
, a curva
está dentro da
. Então, a área sobreposta é:
Passo 5
Vamos resolver a integral
. Sabemos que:
Então, substituindo:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então:
Passo 6
Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Substituindo:
Resposta
A área da região interior simultânea às curvas
e
é:
Exercícios relacionados
Uma ciclóide é uma curva que pode ser descrita pelo movimento do ponto
de um círculo de raio
, centrado em
, quando este círculo gira sobre o eixo
. Podese representar esta ciclóide através das equações
e
, com
. Determine a área da região delimitada pela ciclóide.
Resolva as equações diferenciais:
A posição de uma partícula, num instante
, é dada por
e
. Calcule a distância percorrida por esta partícula entre os instantes
e
.
Calcule o volume do sólido obtido pela revolução da curva
, com
, em torno do eixo
.