Calcule a área da região simultaneamente interior às curvas r = sen(2θ) e r = sen(θ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a área da região que está dentro das duas curvas dadas pelas equações e . Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e integral definida para achar áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Sabemos que , então:
Agora, vamos resolver essa equação. Podemos fatorar :
Isso nos dá duas soluções:
Mas como estamos trabalhando com no intervalo de a (já que para fora desse intervalo as curvas se repetem), as soluções relevantes são e .

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção, vamos visualizar quais áreas estão dentro de ambas as curvas. Observando os gráficos:
  • Para , está dentro de .
  • Para , está dentro de .
Então, precisamos calcular a área onde as duas regiões se sobrepõem, que é de a .

Passo 4

Para calcular a área em coordenadas polares, usamos a fórmula:
Aqui, vai ser a menor das duas funções dentro do intervalo de integração. No nosso caso, de a , a curva está dentro da . Então, a área sobreposta é:

Passo 5

Vamos resolver a integral . Sabemos que:
Então, substituindo:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então:

Passo 6

Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para :
Para :
Substituindo:

Resposta

A área da região interior simultânea às curvas e é:

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