Uma ciclóide é uma curva que pode ser descrita pelo movimento do ponto
de um círculo de raio
, centrado em
, quando este círculo gira sobre o eixo
. Podese representar esta ciclóide através das equações
e
, com
. Determine a área da região delimitada pela ciclóide.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre uma ciclóide, que é uma curva gerada pelo movimento de um ponto em um círculo que rola sem escorregar sobre uma linha. As equações que descrevem essa ciclóide são:
onde
vai de
a
e
é o raio do círculo. Nosso objetivo é determinar a área da região delimitada por essa ciclóide.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular a área sob uma curva definida parametricamente. Para isso, usamos a fórmula:
onde
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
. Dada a equação de
:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na fórmula da área:
Passo 5
Vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Integramos termo a termo:
(Usamos a identidade
para facilitar a integração.)
Passo 7
Somando os resultados das integrais:
Resposta
A área da região delimitada pela ciclóide é
.
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais:
Um hiperbolóide de uma folha de revolução pode ser obtido pela rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo imaginário. Calcule o volume do sólido delimitado pelos planos
e pelo hiperbolóide obtido pela rotação de
em torno do eixo
.
Calcule a área da região simultaneamente interior às curvas
e
.
A posição de uma partícula, num instante
, é dada por
e
. Calcule a distância percorrida por esta partícula entre os instantes
e
.