Uma ciclóide é uma curva que pode ser descrita pelo movimento do ponto P(0,0) de um círculo de raio a, centrado em (0, a), quando este círculo gira sobre o eixo x. Podese representar esta ciclóide através das equações x = a(t - sen(t)) e y = a(1 - cos(t)), com t in [0, 2 pi]. Determine a área da região delimitada pela ciclóide.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre uma ciclóide, que é uma curva gerada pelo movimento de um ponto em um círculo que rola sem escorregar sobre uma linha. As equações que descrevem essa ciclóide são:
onde vai de a e é o raio do círculo. Nosso objetivo é determinar a área da região delimitada por essa ciclóide.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a área sob uma curva definida parametricamente. Para isso, usamos a fórmula:
onde é a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular . Dada a equação de :
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos e na fórmula da área:

Passo 5

Vamos expandir :
Então, a integral fica:

Passo 6

Integramos termo a termo:
(Usamos a identidade para facilitar a integração.)

Passo 7

Somando os resultados das integrais:

Resposta

A área da região delimitada pela ciclóide é .

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