Resolva as equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial
. Isso significa que temos que encontrar uma função
que satisfaz essa equação. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais de primeira ordem, mais especificamente, equações separáveis. Para resolver, precisamos conseguir separar as variáveis
e
de lados opostos da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
Para separar
de
, dividimos ambos os lados por
:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
e por
para isolar as variáveis:
Passo 3
Com as variáveis separadas, podemos integrar os dois lados. Vamos fazer isso:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 4
Primeira integral à esquerda:
A integral de
em relação a
é:
Agora, a integral à direita:
Integramos termo a termo:
Passo 5
Juntando os resultados das integrais:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 6
Para isolar
, vamos resolver a equação para
:
Agora, aplicamos a função arco cosseno para ambos os lados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
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Um hiperbolóide de uma folha de revolução pode ser obtido pela rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo imaginário. Calcule o volume do sólido delimitado pelos planos
e pelo hiperbolóide obtido pela rotação de
em torno do eixo
.
Calcule a equação da reta tangente em
sendo dados:
em
.
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de um círculo de raio
, centrado em
, quando este círculo gira sobre o eixo
. Podese representar esta ciclóide através das equações
e
, com
. Determine a área da região delimitada pela ciclóide.
Calcule a área da região simultaneamente interior às curvas
e
.