Resolva as equações diferenciais: sen(y) * y' = x^2 + x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial sen(y) * y' = x^2 + x. Isso significa que temos que encontrar uma função que satisfaz essa equação. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais de primeira ordem, mais especificamente, equações separáveis. Para resolver, precisamos conseguir separar as variáveis e de lados opostos da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
Para separar de , dividimos ambos os lados por :
Agora, multiplicamos ambos os lados por e por para isolar as variáveis:

Passo 3

Com as variáveis separadas, podemos integrar os dois lados. Vamos fazer isso:
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 4

Primeira integral à esquerda:
A integral de em relação a é:
Agora, a integral à direita:
Integramos termo a termo:

Passo 5

Juntando os resultados das integrais:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Passo 6

Para isolar , vamos resolver a equação para :
Agora, aplicamos a função arco cosseno para ambos os lados:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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