A posição de uma partícula, num instante
, é dada por
e
. Calcule a distância percorrida por esta partícula entre os instantes
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a posição de uma partícula em função do tempo, com as equações
e
. Nosso objetivo é calcular a distância que essa partícula percorre entre
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de comprimento de arco para trajetórias paramétricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas das funções
e
em relação ao tempo
. Essas derivadas representam a velocidade da partícula nas direções
e
. Vamos calcular:
Passo 3
Agora, vamos montar a expressão que representa a velocidade total da partícula. Segundo a fórmula do comprimento de arco para trajetórias paramétricas, a velocidade é dada por:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Podemos fatorar
:
Isso ficou mais simples! A função velocidade é
.
Passo 5
Agora, para encontrar a distância percorrida entre
e
, vamos integrar a função velocidade nesse intervalo. A distância
é dada por:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Resposta
A distância percorrida pela partícula entre
e
é
unidades.