A posição de uma partícula, num instante , é dada por e . Calcule a distância percorrida por esta partícula entre os instantes e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a posição de uma partícula em função do tempo, com as equações e . Nosso objetivo é calcular a distância que essa partícula percorre entre e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de comprimento de arco para trajetórias paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas das funções e em relação ao tempo . Essas derivadas representam a velocidade da partícula nas direções e . Vamos calcular:

Passo 3

Agora, vamos montar a expressão que representa a velocidade total da partícula. Segundo a fórmula do comprimento de arco para trajetórias paramétricas, a velocidade é dada por:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Podemos fatorar :
Isso ficou mais simples! A função velocidade é .

Passo 5

Agora, para encontrar a distância percorrida entre e , vamos integrar a função velocidade nesse intervalo. A distância é dada por:

Passo 6

Vamos calcular a integral:

Resposta

A distância percorrida pela partícula entre e é unidades.

Exercícios relacionados

Calcule a área da região simultaneamente interior às curvas e .
Uma ciclóide é uma curva que pode ser descrita pelo movimento do ponto de um círculo de raio , centrado em , quando este círculo gira sobre o eixo . Podese representar esta ciclóide através das equações e , com . Determine a área da região delimitada pela ciclóide.
Calcule o volume do sólido obtido pela revolução da curva , com , em torno do eixo .
Considere a região delimitada simultaneamente pelas curvas e .
(a) Obtenha a(s) integral(is) que permite(m) calcular o perímetro da região .
(b) Calcule o volume do sólido obtido quando a região é rotacionada em torno do eixo .
© Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região é rotacionada em torno da reta .