A posição de uma partícula, num instante t, é dada por x(t) = 2 cos(t) + 2 t sen(t) e y(t) = 2 sen(t) - 2 t cos(t). Calcule a distância percorrida por esta partícula entre os instantes t = 0 e t = pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a posição de uma partícula em função do tempo, com as equações e . Nosso objetivo é calcular a distância que essa partícula percorre entre e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de comprimento de arco para trajetórias paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas das funções x(t) e y(t) em relação ao tempo t. Essas derivadas representam a velocidade da partícula nas direções x e y. Vamos calcular:

Passo 3

Agora, vamos montar a expressão que representa a velocidade total da partícula. Segundo a fórmula do comprimento de arco para trajetórias paramétricas, a velocidade é dada por:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Podemos fatorar :
Isso ficou mais simples! A função velocidade é .

Passo 5

Agora, para encontrar a distância percorrida entre e , vamos integrar a função velocidade nesse intervalo. A distância S é dada por:

Passo 6

Vamos calcular a integral:

Resposta

A distância percorrida pela partícula entre e é unidades.

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