Calcule o volume do sólido obtido pela revolução da curva
, com
, em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do sólido que surge ao girar a curva
em torno do eixo
, considerando
. Vamos usar conceitos de Cálculo, mais especificamente o método de volumes de revolução. Para isso, vamos precisar aplicar a fórmula do método dos discos.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação da curva para ficar mais fácil de trabalhar. A equação dada é
. Vamos resolver para
:
Agora, temos a função
que vamos girar em torno do eixo
.
Passo 3
Para encontrar o volume do sólido de revolução, usamos a fórmula do método dos discos:
Aqui,
,
e
tende ao infinito, já que
.
Passo 4
Vamos substituir
na fórmula:
Agora, precisamos calcular essa integral.
Passo 5
A integral de
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos avaliar a integral definida de 1 até infinito:
Passo 7
Calculando os limites:
E:
Então:
Resposta
O volume do sólido obtido é
unidades cúbicas.