Calcule o volume do sólido obtido pela revolução da curva , com , em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do sólido que surge ao girar a curva em torno do eixo , considerando . Vamos usar conceitos de Cálculo, mais especificamente o método de volumes de revolução. Para isso, vamos precisar aplicar a fórmula do método dos discos.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação da curva para ficar mais fácil de trabalhar. A equação dada é . Vamos resolver para :
Agora, temos a função que vamos girar em torno do eixo .

Passo 3

Para encontrar o volume do sólido de revolução, usamos a fórmula do método dos discos:
Aqui, , e tende ao infinito, já que .

Passo 4

Vamos substituir na fórmula:
Agora, precisamos calcular essa integral.

Passo 5

A integral de é:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos avaliar a integral definida de 1 até infinito:

Passo 7

Calculando os limites:
E:
Então:

Resposta

O volume do sólido obtido é unidades cúbicas.

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(a) Obtenha a(s) integral(is) que permite(m) calcular o perímetro da região .
(b) Calcule o volume do sólido obtido quando a região é rotacionada em torno do eixo .
© Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região é rotacionada em torno da reta .
Calcule a equação da reta tangente em sendo dados: em ;